Ok, let's go! Hi vọng là giải đúng, giải từ từ nha, các bạn nếu nhìn vào thấy chưa xong thì đừng giận:
Xét dãy phụ: $ v_n = u_n +a $ Trong đó ta dùng phương pháp hệ số bất định để tìm $ a$ thỏa mãn $ 20+a = 9a$ thì khi đó dãy truy hồi thu được có dạng:
$ v_{n+1} = 4v_n + 5 v_{n-1}$ với mọi $ n \geq 2$ . Dễ thấy $ a = \frac{5}{2}$
$(v_n)$ là dãy truy hồi tuyến tính cấp $2$, $ v_0 = \frac{45}{2} ; v_1 = \frac{205}{2}$, phương trình đặc trưng của dãy này là: $ x^2 - 4x -5 = 0$ có $2$ nghiệm:
$ x_1 = -1 ; x_2 = 5$ nên $ v_n = a \cdot (-1)^n + b \cdot 5^n$ với mọi $ n \in \mathbb{N}$
Do đã có trước $2$ giá trị $ v_0; v_1$ nên dễ dàng giải hệ tuyến tính $2$ ẩn để tìm ra : $ a = \frac{5}{3}; b = \frac{125}{6}$
Suy ra: $ v_n = \frac{ 5^{n+3} + 10 \cdot (-1)^n }{6}$
Ta đi chứng minh $h$ phải là số chẵn.
Thật vậy, giả sử $h$ là số lẻ thì: $ u_{n+h} - u_n = \frac{ 5^{n+3} (5^h -1)+ 10 \cdot (-1)^n \cdot ( (-1)^h -1)}{6} =\frac{ 5^{n+3} (5^h -1) - 20 \cdot (-1)^n }{6}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 10-01-2022 - 10:35