Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm số nguyên dương h bé nhất sao cho : $U_{n+h}-U_{n} \vdots 1998$ với mọi số nguyên dương n

- - - - - dãy số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
quochuy50618

quochuy50618

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết

Cho dãy số $(U_{n})$ : $U_{0}=20, U_{1}=100,U_{n+1}= 4U_{n}+5U_{n-1}+20$ với mọi số tự nhiên n lớn hơn 2.

Tìm số nguyên dương h bé nhất sao cho : $U_{n+h}-U_{n} \vdots 1998$ với mọi số nguyên dương n


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quochuy50618: 27-10-2021 - 16:19


#2
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Bài này làm gồm những bước sau:

 

Bước 1: Xác định công thức tổng quát của dãy $(u_n)$, tính ra được $u_n$ theo $n$

Bước 2: Phân tích $1998$ là tích các thừa số nguyên tố.

 

Bước 3: Sử dụng kiến thức cơ bản: cấp của một số nguyên theo modulo của hợp số là bội chung nhỏ nhất của các cấp của số nguyên đó theo modulo từng thừa số nguyên tố. Cụ thể: Giả sử $h$ là cấp của số nguyên $a$ theo modulo $n$, $n = p^{ \alpha_1}_1  p^{ \alpha_2}_2 \cdots p^{ \alpha_k}_k$ thì $h$ sẽ là bội chung nhỏ nhất của $ h_1; h_2; ...; h_k$ với $h_1; h_2;...; h_k$ lần lượt là cấp của $a$ theo modulo $p^{ \alpha_1}_1;  p^{ \alpha_2}_2; \cdots ;p^{ \alpha_k}_k$

 

Bước 4: Tính cụ thể ra các giá trị $h_1 ; h_2 ; ...; h_k$, cái này thì có những bổ đề để tính cụ thể ra :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 31-12-2021 - 08:35

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#3
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Ok, let's go! Hi vọng là giải đúng, giải từ từ nha, các bạn nếu nhìn vào thấy chưa xong thì đừng giận: 

Xét dãy phụ: $ v_n = u_n +a $ Trong đó ta dùng phương pháp hệ số bất định để tìm $ a$ thỏa mãn $ 20+a = 9a$ thì khi đó dãy truy hồi thu được có dạng:

$ v_{n+1} = 4v_n + 5 v_{n-1}$ với mọi $ n \geq 2$ . Dễ thấy $ a = \frac{5}{2}$

$(v_n)$ là dãy truy hồi tuyến tính cấp $2$, $ v_0 =  \frac{45}{2} ; v_1 = \frac{205}{2}$, phương trình đặc trưng của dãy này là: $ x^2 - 4x -5 = 0$ có $2$ nghiệm:

 

$ x_1 = -1 ; x_2 = 5$ nên $ v_n = a \cdot (-1)^n + b \cdot 5^n$ với mọi $ n \in \mathbb{N}$

 

Do đã có trước $2$ giá trị $ v_0; v_1$ nên dễ dàng giải hệ tuyến tính  $2$ ẩn để tìm ra : $ a = \frac{5}{3}; b = \frac{125}{6}$

 

Suy ra: $ v_n = \frac{ 5^{n+3} + 10 \cdot (-1)^n }{6}$

 

Ta đi chứng minh $h$ phải là số chẵn.

Thật vậy, giả sử $h$ là số lẻ thì: $ u_{n+h} - u_n  = \frac{ 5^{n+3}  (5^h -1)+ 10 \cdot (-1)^n  \cdot ( (-1)^h -1)}{6}  =\frac{ 5^{n+3}  (5^h -1) - 20 \cdot (-1)^n }{6}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 10-01-2022 - 10:35

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dãy số

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh