Chủ đề này có 2 trả lời

[Lemonjuice]

Cho $p$ là số nguyên tố lẻ có dạng $3k+2$. Chứng minh rằng nếu $a^{2}+ab+b^{2}$ chia hết cho $p$ thì cả $a$ và $b$ đều cùng chia hết cho p biết rằng $a$ và $b$ đều nguyên dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 28-10-2021 - 16:50

[phuc_90]

Cho $p$ là số nguyên tố lẻ có dạng $3k+2$. Chứng minh rằng nếu $a^{2}+ab+b^{2}$ chia hết cho $p$ thì cả $a$ và $b$ đều cùng chia hết cho p biết rằng $a$ và $b$ đều nguyên dương

 

Theo định lý Fermat $\left\{\begin{matrix}a^{p}\equiv a\,\,(mod \,p)\\ b^{p}\equiv b\,\,(mod \,p)\end{matrix}\right.$   $\Rightarrow$   $\left\{\begin{matrix}a^{p+1}\equiv a^2\,\,(mod \,p)\\ b^{p+1}\equiv b^2\,\,(mod \,p)\end{matrix}\right.$

 

Khi đó  $\left ( a^3-b^3 \right )\left ( a^{3k}+a^{3k-3}b^3+...+a^3b^{3k-3}+b^{3k} \right )=a^{3k+3}-b^{3k+3}=a^{p+1}-b^{p+1}\equiv a^2-b^2\,\,(mod \,p)$

 

Ta có $p\,|\left ( a-b \right )\left ( a^2+ab+b^2 \right )=a^3-b^3$    nên    $p \,| a^2-b^2=(a-b)(a+b)$   $\Rightarrow$   $p\,| a-b$ hoặc $p\,| a+b$

 

Trường hợp:  $p\,| a-b$ thì từ $p\,|a^2+ab+b^2=\left ( a-b \right )^2+3ab$   $\Rightarrow$   $p\,| 3ab$  $\Rightarrow$  $p\,| a$ hoặc $p\,| b$

 

Nếu $p\,| a$ thì $p\,| a-(a-b)=b$

 

Nếu $p\,| b$ thì $p\,| a-b+b=a$

 

Trường hợp:  $p\,| a+b$ thì từ $p\,|a^2+ab+b^2=\left ( a+b \right )^2-ab \quad \Rightarrow \quad p\,| ab$  $\Rightarrow$  $p\,| a$ hoặc $p\,| b$

 

Lập luận như trên thì ta luôn có $a\,,\,b$ đều chia hết cho $p$

[Gia Cat Minh]

Cho $p$ là số nguyên tố lẻ có dạng $3k+2$. Chứng minh rằng nếu $a^{2}+ab+b^{2}$ chia hết cho $p$ thì cả $a$ và $b$ đều cùng chia hết cho p biết rằng $a$ và $b$ đều nguyên dương

Sử dụng thặng dư bình phương có thể giải như sau:

Kí hiệu $a\equiv b[p]$ là $a$ đồng dư với $b$ module $p$

Dễ thấy nếu $p\mid a$ hoặc $p\mid b$ thì cả $a,b$ đều chia hết cho $p$

Giả sử $a,b$ không chia hết cho $p$

Khi đó $(2a+b)^2\equiv -3b^2[p]$

Suy ra $1=(\frac{-3}{p})=(\frac{-1}{p}).(\frac{3}{p})\Leftrightarrow (\frac{p}{3})=(-1)^{\frac{p-1}{2}}.(-1)^{\frac{(3-1).(p-1)}{4}}=1$

Mà $(\frac{p}{3})=(\frac{2}{3})=-1$

Vậy điều giả sử là vô lí