Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh rằng hàm sinh của dãy $(A_{n})_{n\geq 1}$ là $f(x)=\frac{1}{\prod_{i=1}^{m}(1-x^{a_{i}})}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Lemonjuice

Lemonjuice

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết

Đã gửi 29-10-2021 - 12:08

Cho m và n đều nguyên dương. Giả sử rằng phương trình $a_{1}x_{1}+...+a_{m}x_{m}=n$ với $a_{i}$ lớn hơn 0 và nguyên dương với mọi i chạy từ 1 đến m; có nghiệm không âm và đặt $A_{n}$ là số nguyên $(x_{1};...,x_{m})$ của phương trình. Chứng minh rằng hàm sinh của dãy $(A_{n})_{n\geq 1}$ là $f(x)=\frac{1}{\prod_{i=1}^{m}(1-x^{a_{i}})};\left | x \right |< 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 29-10-2021 - 12:13


#2 Nobodyv3

Nobodyv3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 29-10-2021 - 20:46

Cho m và n đều nguyên dương. Giả sử rằng phương trình $a_{1}x_{1}+...+a_{m}x_{m}=n$ với $a_{i}$ lớn hơn 0 và nguyên dương với mọi i chạy từ 1 đến m; có nghiệm không âm và đặt $A_{n}$ là số nguyên $(x_{1};...,x_{m})$ của phương trình. Chứng minh rằng hàm sinh của dãy $(A_{n})_{n\geq 1}$ là $f(x)=\frac{1}{\prod_{i=1}^{m}(1-x^{a_{i}})};\left | x \right |< 1$

Yêu cầu của bài toán tương đương với yêu cầu lập hàm sinh tính số cách bỏ n viên bi giống nhau vào m hộp sao cho hộp thứ nhất có $a_{1}x_{1} $viên, hộp thứ hai có $a_{2}x_{2}$ viên,...., hộp thứ m có $a_{m}x_{m}$ viên. Ta thấy rằng: số bi trong hộp thứ i là một bội của $a_{i}$ từ đó ta có hàm sinh cho số cách bỏ bi vào hộp thứ nhất là :
$1+x^{a_{1}\cdot 1}+x^{a_{1}\cdot 2}+x^{a_{1}\cdot 3}+...=
\sum_{k=0}^{\infty }\left (x^{a_{1}} \right )^{k}= \frac{1}{1-x^{a_{1}}}$
vào hộp thứ hai là:
$1+x^{a_{2}\cdot 1}+x^{a_{2}\cdot
2}+x^{a_{2}\cdot 3}+...=
\sum_{k=0}^{\infty }\left (x^{a_{2}} \right )^{k}= \frac{1}{1-x^{a_{2}}}$
.
.
.
vào hộp thứ m là:
$1+x^{a_{m}\cdot 1}+x^{a_{m}\cdot 2}+x^{a_{m}\cdot 3}+...=
\sum_{k=0}^{\infty }\left (x^{a_{m}} \right )^{k}= \frac{1}{1-x^{a_{m}}}$
Như vậy, theo qui tắc nhân, thì hàm sinh cho số cách bỏ n bi vào m hộp thỏa yêu cầu là :
$$f(x)=\frac{1}{\prod_{i=1}^{m}(1-x^{a_{i}})}$$ QED.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 30-10-2021 - 09:17





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh