Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $X,Y,Z$ thẳng hàng

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Dennis Nguyen

Dennis Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$. Các đường thẳng $AM,BM,CM$ theo thứ tự cắt $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Lấy $X$ thuộc $BC$ sao cho $\angle AMX= 90^{\circ}$. $Y,Z$ theo thứ tự là điểm đối xứng với $M$ qua $DE,DF$. Chứng minh $X,Y,Z$ thẳng hàng.



#2
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$. Các đường thẳng $AM,BM,CM$ theo thứ tự cắt $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Lấy $X$ thuộc $BC$ sao cho $\angle AMX= 90^{\circ}$. $Y,Z$ theo thứ tự là điểm đối xứng với $M$ qua $DE,DF$. Chứng minh $X,Y,Z$ thẳng hàng.

Gọi $M'$ đối xứng $M$ qua $BC$.

Khi đó $M(YZ,M'X)=D(EF,XA)=-1$.

Mà $MX$ là tiếp tuyến của $(D)$ nên tứ giác $MYM'Z$ điều hòa, từ đó suy ra $X,Y,Z$ thẳng hàng. $\square$

 

Note. Từ bài toán trên có thể suy ra một kết quả quen thuộc

Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ sao cho các đường thẳng qua $P$ lần lượt vuông góc với $PA,PB,PC$ cắt $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $X,Y,Z$. Khi đó $X,Y,Z$ thẳng hàng.

 

PS: Theo tôi, bài toán này nên được hỏi ở box Toán thi Học sinh giỏi và Olympic - Hình học thì hợp lý hơn.

Hình gửi kèm

  • figure.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 02-11-2021 - 17:48


#3
Dennis Nguyen

Dennis Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Gọi $M'$ đối xứng $M$ qua $BC$.

Khi đó $M(YZ,M'X)=D(EF,XA)=-1$.

Mà $MX$ là tiếp tuyến của $(D)$ nên tứ giác $MYM'Z$ điều hòa, từ đó suy ra $X,Y,Z$ thẳng hàng. $\square$

 

Note. Từ bài toán trên có thể suy ra một kết quả quen thuộc

Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ sao cho các đường thẳng qua $P$ lần lượt vuông góc với $PA,PB,PC$ cắt $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $X,Y,Z$. Khi đó $X,Y,Z$ thẳng hàng.

 

PS: Theo tôi, bài toán này nên được hỏi ở box Toán thi Học sinh giỏi và Olympic - Hình học thì hợp lý hơn.

Phần chứng minh tứ giác $MYM'Z$ điều hòa nếu không dùng hàng điểm thì có thể chứng minh được không bạn?



#4
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Phần chứng minh tứ giác $MYM'Z$ điều hòa nếu không dùng hàng điểm thì có thể chứng minh được không bạn?

Bạn nên thử tự tìm thêm cách khác thì hơn.



#5
Dennis Nguyen

Dennis Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Gọi $M'$ đối xứng $M$ qua $BC$.

Khi đó $M(YZ,M'X)=D(EF,XA)=-1$.

Mà $MX$ là tiếp tuyến của $(D)$ nên tứ giác $MYM'Z$ điều hòa, từ đó suy ra $X,Y,Z$ thẳng hàng. $\square$

 

Note. Từ bài toán trên có thể suy ra một kết quả quen thuộc

Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ sao cho các đường thẳng qua $P$ lần lượt vuông góc với $PA,PB,PC$ cắt $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $X,Y,Z$. Khi đó $X,Y,Z$ thẳng hàng.

 

PS: Theo tôi, bài toán này nên được hỏi ở box Toán thi Học sinh giỏi và Olympic - Hình học thì hợp lý hơn.À 

À bạn có thể nào cho mình hỏi tại sao $D(EFXA)=-1$? Bạn có thể nói chi tiết với!



#6
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

À bạn có thể nào cho mình hỏi tại sao $D(EF,XA)=-1$? Bạn có thể nói chi tiết với!

Bạn tham khảo hàng điểm điều hòa trong tứ giác toàn phần nhé.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh