Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$. Các đường thẳng $AM,BM,CM$ theo thứ tự cắt $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Lấy $X$ thuộc $BC$ sao cho $\angle AMX= 90^{\circ}$. $Y,Z$ theo thứ tự là điểm đối xứng với $M$ qua $DE,DF$. Chứng minh $X,Y,Z$ thẳng hàng.
Chứng minh $X,Y,Z$ thẳng hàng
#1
Đã gửi 02-11-2021 - 11:34
#2
Đã gửi 02-11-2021 - 17:45
Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$. Các đường thẳng $AM,BM,CM$ theo thứ tự cắt $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Lấy $X$ thuộc $BC$ sao cho $\angle AMX= 90^{\circ}$. $Y,Z$ theo thứ tự là điểm đối xứng với $M$ qua $DE,DF$. Chứng minh $X,Y,Z$ thẳng hàng.
Gọi $M'$ đối xứng $M$ qua $BC$.
Khi đó $M(YZ,M'X)=D(EF,XA)=-1$.
Mà $MX$ là tiếp tuyến của $(D)$ nên tứ giác $MYM'Z$ điều hòa, từ đó suy ra $X,Y,Z$ thẳng hàng. $\square$
Note. Từ bài toán trên có thể suy ra một kết quả quen thuộc
Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ sao cho các đường thẳng qua $P$ lần lượt vuông góc với $PA,PB,PC$ cắt $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $X,Y,Z$. Khi đó $X,Y,Z$ thẳng hàng.
PS: Theo tôi, bài toán này nên được hỏi ở box Toán thi Học sinh giỏi và Olympic - Hình học thì hợp lý hơn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 02-11-2021 - 17:48
#3
Đã gửi 02-11-2021 - 18:08
Gọi $M'$ đối xứng $M$ qua $BC$.
Khi đó $M(YZ,M'X)=D(EF,XA)=-1$.
Mà $MX$ là tiếp tuyến của $(D)$ nên tứ giác $MYM'Z$ điều hòa, từ đó suy ra $X,Y,Z$ thẳng hàng. $\square$
Note. Từ bài toán trên có thể suy ra một kết quả quen thuộc
Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ sao cho các đường thẳng qua $P$ lần lượt vuông góc với $PA,PB,PC$ cắt $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $X,Y,Z$. Khi đó $X,Y,Z$ thẳng hàng.
PS: Theo tôi, bài toán này nên được hỏi ở box Toán thi Học sinh giỏi và Olympic - Hình học thì hợp lý hơn.
Phần chứng minh tứ giác $MYM'Z$ điều hòa nếu không dùng hàng điểm thì có thể chứng minh được không bạn?
#4
Đã gửi 02-11-2021 - 18:28
Phần chứng minh tứ giác $MYM'Z$ điều hòa nếu không dùng hàng điểm thì có thể chứng minh được không bạn?
Bạn nên thử tự tìm thêm cách khác thì hơn.
#5
Đã gửi 04-11-2021 - 21:28
Gọi $M'$ đối xứng $M$ qua $BC$.
Khi đó $M(YZ,M'X)=D(EF,XA)=-1$.
Mà $MX$ là tiếp tuyến của $(D)$ nên tứ giác $MYM'Z$ điều hòa, từ đó suy ra $X,Y,Z$ thẳng hàng. $\square$
Note. Từ bài toán trên có thể suy ra một kết quả quen thuộc
Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ sao cho các đường thẳng qua $P$ lần lượt vuông góc với $PA,PB,PC$ cắt $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $X,Y,Z$. Khi đó $X,Y,Z$ thẳng hàng.
PS: Theo tôi, bài toán này nên được hỏi ở box Toán thi Học sinh giỏi và Olympic - Hình học thì hợp lý hơn.À
À bạn có thể nào cho mình hỏi tại sao $D(EFXA)=-1$? Bạn có thể nói chi tiết với!
#6
Đã gửi 05-11-2021 - 18:39
À bạn có thể nào cho mình hỏi tại sao $D(EF,XA)=-1$? Bạn có thể nói chi tiết với!
Bạn tham khảo hàng điểm điều hòa trong tứ giác toàn phần nhé.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh