Chủ đề này có 5 trả lời

[tamthien19]

Em có đọc tài liệu có bổ đề sau:

"Cho K là trường có số phần tử khác 2. Giả sử $A\epsilon M_n(K)$ và $P\epsilon M_n(K))$. Khi đó, nếu $P\epsilon GL_n(K)$ thì tồn tại ma trận $C\epsilon GL_n(K)$ sao cho cả hai ma trận $A-C$ và $C+P$ đều khả nghịch."

 Trong phần chứng minh có nói: không mất tính tổng quát, giả sử $P=I_n$ nên chỉ cần chứng minh $C+I_n$ khả nghịch và trong trường hợp số phần tử trường $K=3$ thì thay ma trận $A$ bởi ma trận $B$ đồng dạng với nó nên chỉ cần chứng minh $B-C$ khả nghịch, phần này em chưa hiểu lắm. Nhờ anh chị nào biết xin chỉ giùm. Xin cảm ơn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tamthien19: 02-11-2021 - 13:23

[phuc_90]

Post hết lời giải lên mới biết được em.

[tamthien19]

Post hết lời giải lên mới biết được em.

Dạ
" Cho K là trường có số phần tử khác 2. Giả sử $A\epsilon M_n(K)$  và $P\epsilon M_n(K)$. Khi đó, nếu $P\epsilon GL_n(K)$ thì tồn tại ma trận $C\epsilon GL_n(K)$ sao cho cả 2 ma trận $A-C$ và $C+P$ đều khả nghịch."
Trong phần đầu chứng minh có nói: Không mất tính tổng quá thay ma trận $P=I_n$ nên chỉ cần chứng minh $C+I_n$ khả nghịch và thay ma trận $A$ bởi ma trận $B$ đồng dạng với nó nên chỉ cần chứng minh $B-C$ khả nghịch.

Em chưa  hiểu là sao lại thay $P=I_n$ và thay $A$ bởi $B$.
Em nghĩ là nếu $C+I_n$ khả nghịch thì suy ra $C+P$ khả nghịch và $B-C$ khả nghịch thì $A-C$ khả nghịch, mà em không biết cách chứng minh vì sao lại vậy.
Em xin cảm ơn!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tamthien19: 02-11-2021 - 18:54

[poset]

 

Em nghĩ là nếu $C+I_n$ khả nghịch thì suy ra $C+P$ khả nghịch và $B-C$ khả nghịch thì $A-C$ khả nghịch, mà em không biết cách chứng minh vì sao lại vậy.
 

Không phải thế này, mà là nếu ta chứng minh được trong trường hợp $P=I_n$ thì cũng chứng minh được cho $P$ khả nghịch bất kì.
Giả sử ta chứng minh được với trường hợp $P=I_n$ và $A$ bất kì.
Giờ xét $P$ bất kì và $A$ bất kì, ta xét trường hợp $P'=I_n$ và $A'=P^{-1}A$, ta tìm được $C'$ sao cho $I_n+C'$ và $A'-C'$ khả nghịch. Lúc này ta lấy $C=PC'$ thì $C+P=P(I_n+C)$ và $A-C=P(A'-C')$ khả nghịch, vậy ta chứng minh được cho $P$ và $A$ bất kì.
Tương tự với lấy $B$ đồng dạng, chỉ cần đúng với $B$ đồng dạng nào đó của $A$ thì nó cũng sẽ đúng với $A$. Cơ mà chắc không cần?! Chỉ cần lấy $C$ sao cho $I_n+C$ là ma trận tam giác trên và $A-C$ là ma trận tam giác dưới và chúng có tích hệ số đường chéo (tức định thức của chúng) khác $0$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 03-11-2021 - 08:44

[tamthien19]

Không phải thế này, mà là nếu ta chứng minh được trong trường hợp $P=I_n$ thì cũng chứng minh được cho $P$ khả nghịch bất kì.
Giả sử ta chứng minh được với trường hợp $P=I_n$ và $A$ bất kì.
Giờ xét $P$ bất kì và $A$ bất kì, ta xét trường hợp $P'=I_n$ và $A'=P^{-1}A$, ta tìm được $C'$ sao cho $I_n+C'$ và $A'-C'$ khả nghịch. Lúc này ta lấy $C=PC'$ thì $C+P=P(I_n+C)$ và $A-C=P(A'-C')$ khả nghịch, vậy ta chứng minh được cho $P$ và $A$ bất kì.
Tương tự với lấy $B$ đồng dạng, chỉ cần đúng với $B$ đồng dạng nào đó của $A$ thì nó cũng sẽ đúng với $A$. Cơ mà chắc không cần?! Chỉ cần lấy $C$ sao cho $I_n+C$ là ma trận tam giác trên và $A-C$ là ma trận tam giác dưới và chúng có tích hệ số đường chéo (tức định thức của chúng) khác $0$

Em xin cảm ơn. Anh/chị có thể làm rõ dòng thứ 5: "Tương tự với lấy $B$ đồng dạng, chỉ cần đúng với $B$ đồng dạng nào đó của $A$ thì nó cũng đúng với $A$"
Em làm như thế này ổn không:
Do $C$ khả nghịch nên đặt $M=H^{-1}CH$ khả nghịch và $B=H^{-1}AH$ đồng dạng A. Ta có: $det(B-M)=detH^{-1}.det(A-C).detH\neq 0$. Vậy $A-C$ khả nghịch.

[poset]

 

Không phải thế này, mà là nếu ta chứng minh được trong trường hợp $P=I_n$ thì cũng chứng minh được cho $P$ khả nghịch bất kì.
Giả sử ta chứng minh được với trường hợp $P=I_n$ và $A$ bất kì.
Giờ xét $P$ bất kì và $A$ bất kì, ta xét trường hợp $P'=I_n$ và $A'=P^{-1}A$, ta tìm được $C'$ sao cho $I_n+C'$ và $A'-C'$ khả nghịch. Lúc này ta lấy $C=PC'$ thì $C+P=P(I_n+C)$ và $A-C=P(A'-C')$ khả nghịch, vậy ta chứng minh được cho $P$ và $A$ bất kì.
Tương tự với lấy $B$ đồng dạng, chỉ cần đúng với $B$ đồng dạng nào đó của $A$ thì nó cũng sẽ đúng với $A$. Cơ mà chắc không cần?! Chỉ cần lấy $C$ sao cho $I_n+C$ là ma trận tam giác trên và $A-C$ là ma trận tam giác dưới và chúng có tích hệ số đường chéo (tức định thức của chúng) khác $0$

Em xin cảm ơn. Anh/chị có thể làm rõ dòng thứ 5: "Tương tự với lấy $B$ đồng dạng, chỉ cần đúng với $B$ đồng dạng nào đó của $A$ thì nó cũng đúng với $A$"
Em làm như thế này ổn không:
Do $C$ khả nghịch nên đặt $M=H^{-1}CH$ khả nghịch và $B=H^{-1}AH$ đồng dạng A. Ta có: $det(B-M)=detH^{-1}.det(A-C).detH\neq 0$. Vậy $A-C$ khả nghịch.

 

đúng rồi bạn