Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\sum \frac{x^2}{y} \geq 6$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
KieranWilson

KieranWilson

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa $x^2+y^2+z^2 \geq 12$

Chứng minh:

$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \geq 6$



#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}=\frac{x^4}{x^2y}+\frac{y^4}{y^2z}+\frac{z^4}{z^2x}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y+y^2z+z^2x}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sqrt{[(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2](x^2+y^2+z^2)}}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sqrt{[\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3}](x^2+y^2+z^2)}}=\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}\geqslant \sqrt{36}=6$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=2$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh