Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa $x^2+y^2+z^2 \geq 12$
Chứng minh:
$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \geq 6$
Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa $x^2+y^2+z^2 \geq 12$
Chứng minh:
$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \geq 6$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}=\frac{x^4}{x^2y}+\frac{y^4}{y^2z}+\frac{z^4}{z^2x}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y+y^2z+z^2x}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sqrt{[(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2](x^2+y^2+z^2)}}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sqrt{[\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3}](x^2+y^2+z^2)}}=\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}\geqslant \sqrt{36}=6$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=2$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh