Chủ đề này có 5 trả lời

[Dennis Nguyen]

Chứng minh: $3(x^2-x+1)(y^2-y+1)(z^2-z+1)\geq x^2y^2z^2+xyz+1 (\forall x,y,z\geq 0)$

[kietdz]

Ta có bất đẳng thức phụ sau: $3(x^2-x+1)^3\geq x^6+x^3+1\Leftrightarrow (2x^2-x+2)(x-1)^4\geq0$ 

Tương tự thì $3(y^2-y+1)^3\geq y^6+y^3+1, 3(z^2-z+1)^3\geq z^6+z^3+1.$ 

Nhân 3 bất đẳng thức này vế theo vế thì ta được $27(x^2-x+1)^3(y^2-y+z)^3(z^2-z+1)^3\geq(x^6+x^3+1)(y^6+y^3+1)(z^6+z^3+1)\geq(x^2y^2z^2+xyz+1)^3$ (Holder) $\Rightarrow$ ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kietdz: 05-11-2021 - 22:37

[supermember]

Bài này có lời giải khác đơn giản & tự nhiên hơn.

Chờ chút đi ăn cơm. Lát post lên.

 

Bắt đầu: Hi vọng là giải đúng   
 

Xét tam thức bậc $2$  : $ g(x) = x^2 - x +1$

 

Ta thấy rằng bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $ 3(x^2 - x+1) g(y) g(z) \geq x^2 y^2 z^2 + xyz +1$

 

Tức là ta cần đi chứng minh $  d(x) = (3g(y)g(z) - y^2 z^2 ) x^2 - (3g(y)g(z) +yz)x + (3g(y)g(z) -1) \geq 0$

 

Vế trái của bất đẳng thức này là tam thức bậc $2$ ẩn $x$, một cách tự nhiên, ta xét $ \Delta$ của tam thức này:

 

$  \Delta = (3g(y)g(z) +yz)^2 - 4 \left( 3g(y)g(z) - y^2 z^2 \right) \cdot  \left( 3g(y)g(z) -1 \right)$

 

$ = 9 g^2 (y) g^2 (z) + 6yzg(y)g(z) + y^2 z^2 - 36 g^2 (y) g^2 (z) + 12 g(y)g(z) + 12 y^2 z^2 g(y)g(z) - 4y^2 z^2 $

 

$ = -27g^2 (y) g^2 (z) + 6yzg(y)g(z) - 3y^2 z^2 + 12 g(y)g(z) + 12 y^2 z^2 g(y)g(z)$

 

$ \implies  \Delta = -3 \left( g(y)g(z) - yz \right) ^2 - 12 g(y)g(z) \left( 2g(y)g(z) -  y^2 z^2 -1 \right)$   $ ( \bigstar )$

 

Mục đích sau cùng của ta là đi chứng minh $ \Delta \leq 0$ và để chứng minh điều này, ta sẽ đi chứng minh:

 

$ 2g(y)g(z) -  y^2 z^2 -1 \geq 0$   $ ( \bigstar   \bigstar)$

 

Thật vậy, nếu ta tiếp tục sử dụng kỹ thuật như từng dùng ở trên, thì ta dễ thấy là $ ( \bigstar   \bigstar)$ tương đương với:

 

$  h(y) = (z^2 - 2z+2)y^2 - 2(z^2-z+1)y + (2z^2 - 2z +1) \geq 0$

 

Tiếp tục xét $ \Delta^{'}_{h}$ thì ta có:

 

$ \Delta^{'}_{h} = (z^2-z+1)^2 - (z^2 - 2z+2) \cdot (2z^2 - 2z +1) = z^4 + z^2 +1 - 2z^3 -2z+ 2z^2 - 2z^4 + 2z^3 - z^2 + 4z^3 - 4z^2 + 2z - 4z^2 + 4z -2$

 

$ = -z^4 + 4z^3 - 6z^2 + 4z -1 = -(z-1)^4 \leq 0$ với mọi $ z \in \mathbb{R}$

 

Ta có: $h(y)$ là tam thức bậc $2$ có hệ số của $y^2$ là $ z^2 - 2z+2 = (z-1)^2 +1 >0$ và định thức $ \Delta^{'}_{h} \leq 0$ với mọi $ z \in \mathbb{R}$

 

Suy ra $ h(y) \geq 0$ với mọi  $ y \in \mathbb{R}$

 

Suy ra  $ ( \bigstar   \bigstar)$ được chứng minh hoàn toàn.

 

Từ $    ( \bigstar ); ( \bigstar   \bigstar)$ ta suy ra:  $  \Delta \leq 0$ với mọi $y;z \in \mathbb{R}$

 

Suy ra $  d(x)$ là tam thức bậc $2$ có hệ số $x^2$ là  $3g(y)g(z) - y^2 z^2 > 2g(y)g(z) -  y^2 z^2 -1  \geq 0$ và định thức $  \Delta \leq 0$ với mọi $y;z \in \mathbb{R}$

 

Nên theo kiến thức cơ bản về tam thức bậc $2$ thì hiển nhiên $ d(x) \geq 0$ với mọi $ x \in \mathbb{R}$

 

Và bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : $ x=y=z=1$

 

Và ta còn thu được kết quả mạnh hơn nhiều:

 

Bất đẳng thức đã cho vẫn đúng khi $x;y;z \in \mathbb{R}$ và điều kiện đã cho là thừa .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 06-11-2021 - 16:38

[Dennis Nguyen]

Ta có bất đẳng thức phụ sau: $3(x^2-x+1)^3\geq x^6+x^3+1\Leftrightarrow (2x^2-x+2)(x-1)^4\geq0$ 

Tương tự thì $3(y^2-y+1)^3\geq y^6+y^3+1, 3(z^2-z+1)^3\geq z^6+z^3+1.$ 

Nhân 3 bất đẳng thức này vế theo vế thì ta được $27(x^2-x+1)^3(y^2-y+z)^3(z^2-z+1)^3\geq(x^6+x^3+1)(y^6+y^3+1)(z^6+z^3+1)\geq(x^2y^2z^2+xyz+1)^3$ (Holder) $\Rightarrow$ ĐPCM

Bạn có thể chia sẻ cách tìm ra bất đẳng thức phụ đó không? Mình thấy nhiều bài mới vô cũng xét bất đẳng thức phụ mà không biết làm sao ra được thế? 

[kietdz]

Bạn có thể chia sẻ cách tìm ra bất đẳng thức phụ đó không? Mình thấy nhiều bài mới vô cũng xét bất đẳng thức phụ mà không biết làm sao ra được thế? 

Hmmmm.... Cái này thì mình xét trường hợp đặc biệt là $x=y=z$ thì sẽ trở thành cái bất đẳng thức phụ đó bạn à. :DD

[kietdz]

Bạn có thể tham khảo thêm 2 bài này cũng dùng cách tương tự để tìm ra bất đẳng thức phụ.

2 bài này ở trong file này nha bạn. https://lovetoan.wor...holder-rat-hay/

Hình gửi kèm

• 
• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kietdz: 08-11-2021 - 22:05