Chủ đề này có 3 trả lời

[maolus123]

Cho hai đường tròn (O) và (J) tiếp xúc trong với nhau. Từ một điểm A bất kì trên (O) kẻ tiếp tuyến AP tới (J). Đường tròn (A,AP) cắt (O) tại E, F. Chứng minh EF tiếp xúc với (J).

[Hoang72]

Kẻ tiếp tuyến thứ hai AD đến (J).

AX cắt lại (J) tại H.

Trước tiên ta chứng minh H thuộc trục đẳng phương của $(J)$ và $(A)$.

Thật vậy, ta có $\wp_{H/(A)}=AH^2-AP^2=AH^2-\overline{AX}.\overline{AH}=\overline{HX}.\overline{HA}=\wp_{H/(O)}$.

Từ đó $H\in EF$.

Gọi G là giao điểm của tiếp tuyến tại X của (O) và PD.

Dễ thấy tứ giác XDHP điều hoà nên GH là tiếp tuyến của (J). (1)

Mặt khác dễ thấy G là tâm đẳng phương của ba đường tròn $(A),(O),(J)$ nên $G\in EF$.

Từ đó $E,F,G,H$ thẳng hàng. Kết hợp với (1) ta có điều phải chứng minh.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 05-11-2021 - 22:30

[pntoi oni10420]

Gọi tiếp điểm của $(J)$ và $(O)$ là $X$, $AX$ cắt $(J)$ tại $H$ kẻ tiếp tuyến từ $H$ của $(J)$ cắt $(O)$ tại $E'$, $F'$
Theo $Archimedes Lemma$ thì $XH$ đi qua điểm chính giữa cung $E'F'$ hay $AE'$ = $AF'$
Mà $AP^2$ = $AH$ . $AX$ = $AE'^2$ = $AF'^2$ nên $A$ là tâm $(PE'F')$
Mặt khác $E'$, $F'$ cũng thuộc $(O)$ nên $E'$ trùng $E$, $F'$ trùng $F$
Đpcm

[maolus123]

Gọi tiếp điểm của $(J)$ và $(O)$ là $X$, $AX$ cắt $(J)$ tại $H$ kẻ tiếp tuyến từ $H$ của $(J)$ cắt $(O)$ tại $E'$, $F'$
Theo $Archimedes Lemma$ thì $XH$ đi qua điểm chính giữa cung $E'F'$ hay $AE'$ = $AF'$
Mà $AP^2$ = $AH$ . $AX$ = $AE'^2$ = $AF'^2$ nên $A$ là tâm $(PE'F')$
Mặt khác $E'$, $F'$ cũng thuộc $(O)$ nên $E'$ trùng $E$, $F'$ trùng $F$
Đpcm

:DDD