Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh tâm $(KDH)$ nằm trên $GI$

- - - - - sưu tầm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
DaiphongLT

DaiphongLT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ đồng quy tại $H$. $EF$ cắt $(O)$ tại $G$, $I$. Gọi $M$ trung điểm $BC$, $MH$ cắt $(GDI)$ tại $K$. Chứng minh tâm $(KDH)$ nằm trên $GI$
geogebra-export (7).png


ズ刀Oア


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Gọi S là giao điểm của EF và BC.

Gọi $(O_c)$ là tâm Euler, U là trung điểm của AH.

Ta có $(SD,BC)=-1$ nên theo hệ thức Maclaurin, SD . SM = SB . SC = SG . SI.

Suy ra $(G,I,D,M)$.

Nhận thấy nếu gọi R là trung điểm của AO.

Do $O_c$ là trung điểm của OH nên dễ dàng suy ra được $RO_c||AH$.

Từ đó RD = RM. Lại có RG = RI (Do $AO\perp EF$ và $OG=OI$) nên R là tâm của (GIDM).

Gọi AH cắt (R) tại Q khác D.

Dễ thấy $O_cD=\frac{OA}{2}=RA$ nên tứ giác $ARO_CD$ là hình thang cân.

Suy ra $RQ=RD=O_CA$ nên tứ giác $AQRO_c$ là hình bình hành

$\Rightarrow AQ=RO_c=\frac{AH}{2}$.

KQ cắt BC tại P thì tứ giác PKHD nội tiếp.

PH cắt EF tại J.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác PHD ta có $\frac{JP}{JH}=\frac{ND}{NH}.\frac{SP}{SD}=\frac{ND}{NH}.\frac{AQ}{AD}=\frac{ND}{NH}.\frac{AH}{2AD}$.

Có $(AH,ND)=E(AH,ND)=E(CB,SD)=-1$ nên $(AN,HD)=1-(AH,ND)=2\Rightarrow \frac{AH}{AD}=2\frac{NH}{ND}$.

Từ đó $JP=JH$.

Vậy $J$ là tâm của (KDH). Ta có đpcm

 

Hình gửi kèm

  • Untitled.png


#3
maolus123

maolus123

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết

waooo :DD







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: sưu tầm

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh