Binh nhì
(Thi thử Archimedes 2020) Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng
$$\frac{8}{3\sqrt{4a^2+3b^2+2c^2}+\sqrt{2b^2+2bc+5c^2}}-\frac{1}{\sqrt{a^2+2bc+6}} \leqslant \frac{1}{3}. $$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 07-11-2021 - 14:24
Đại úy
Câu này khá giống đề thi thử Archimedes, không biết đề có vấn đề hay không, câu trong đề là chứng minh $\frac{8}{3\sqrt{4a^2+3b^2+2c^2}+\sqrt{2b^2+2bc+5c^2}}-\frac{1}{\sqrt{a^2+2bc+6}} \leqslant \frac{1}{3}.$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Binh nhì
Câu này khá giống đề thi thử Archimedes, không biết đề có vấn đề hay không, câu trong đề là chứng minh $\frac{8}{3\sqrt{4a^2+3b^2+2c^2}+\sqrt{2b^2+2bc+5c^2}}-\frac{1}{\sqrt{a^2+2bc+6}} \leqslant \frac{1}{3}.$
Chính là nó đó bạn
Đại úy
Vậy bạn sửa lại đề đi, đây là lời giải của mình:
Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta được: $3\sqrt{4a^2+3b^2+2c^2}+\sqrt{2b^2+2bc+5c^2}=\sqrt{(4+3+2)(4a^2+3b^2+2c^2)}+\sqrt{(b+2c)^2+(b-c)^2}\geqslant (4a+3b+2c)+(b+2c)=4(a+b+c)$
và $a^2+2bc+6\leqslant a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2$
$\Rightarrow \frac{8}{3\sqrt{4a^2+3b^2+2c^2}+\sqrt{2b^2+2bc+5c^2}}-\frac{1}{\sqrt{a^2+2bc+6}} \leqslant \frac{2}{a+b+c}-\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a+b+c}\leqslant \frac{1}{\sqrt{3(ab+bc+ca)}}=\frac{1}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
