Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $DT$ vuông góc $EF$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Dennis Nguyen

Dennis Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$, tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$, nội tiếp $(O)$. $A'$ đối xứng $A$ qua $O$. $(A'EF)$ cắt $(O)$ tại $G$ và cắt $(AMG)$ tại $H$ với $M$ là trung điểm $EF$. Biết $GH$ cắt $EF$ tại $T$. Chứng minh $DT$ vuông góc $EF$.



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Trong lời giải này ta giả sử $T$ là hình chiếu của $D$ trên $EF$.

Ta sẽ chứng minh $T\in GH$.

Gọi $J$ là giao điểm thứ hai của $(AEF)$ và $(O)$.

Ta có kết quả quen thuộc là $\frac{TF}{TE}=\frac{BF}{CE}$.

$\Delta JFB\sim\Delta JEC\Rightarrow \frac{JF}{JE}=\frac{FB}{EC}=\frac{TF}{TE}$.

Do đó $JT$ là phân giác của $\widehat{FJE}$.

Mặt khác $A$ là điểm chính giữa cung $EF$ của $(AEF)$ nên $JA$ là phân giác ngoài của $\widehat{FJE}$.

Từ đó $JT\perp JA$ nên $J\in (AMT)$.

$AJ$ cắt $EF$ tại $K$. Dễ thấy $(EF,TK)=-1$.

Ta thấy $K$ là tâm đẳng phương của $(AEF),(O),(A'EF)$ nên $K,A',G$ thẳng hàng.

Vì $\widehat{AGK}=\widehat{AMK}=90^o$ nên $A,M,G,K$ đồng viên.

Do $(EF,TK)=-1$, theo hệ thức Maclaurin ta có $TM.TK=TE.TF$.

Suy ra $T$ nằm trên trục đẳng phương của $(AMG)$ và $(A'EF)$. Vậy $T\in (GH)$. (đpcm)

Hình gửi kèm

  • Untitled.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 09-11-2021 - 15:02


#3
Dennis Nguyen

Dennis Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Trong lời giải này ta giả sử $T$ là hình chiếu của $D$ trên $EF$.

Ta sẽ chứng minh $T\in GH$.

Gọi $J$ là giao điểm thứ hai của $(AEF)$ và $(O)$.

Ta có kết quả quen thuộc là $\frac{TF}{TE}=\frac{BF}{CE}$.

$\Delta JFB\sim\Delta JEC\Rightarrow \frac{JF}{JE}=\frac{FB}{EC}=\frac{TF}{TE}$.

Do đó $JT$ là phân giác của $\widehat{FJE}$.

Mặt khác $A$ là điểm chính giữa cung $EF$ của $(AEF)$ nên $JA$ là phân giác ngoài của $\widehat{FJE}$.

Từ đó $JT\perp JA$ nên $J\in (AMT)$.

$AJ$ cắt $EF$ tại $K$. Dễ thấy $(EF,TK)=-1$.

Ta thấy $K$ là tâm đẳng phương của $(AEF),(O),(A'EF)$ nên $K,A',G$ thẳng hàng.

Vì $\widehat{AGK}=\widehat{AMK}=90^o$ nên $A,M,G,K$ đồng viên.

Do $(EF,TK)=-1$, theo hệ thức Maclaurin ta có $TM.TK=TE.TF$.

Suy ra $T$ nằm trên trục đẳng phương của $(AMG)$ và $(A'EF)$. Vậy $T\in (GH)$. (đpcm)

Làm sao để có thể tư duy ra các đường phụ như vậy vậy bạn? Ý mình nói là nếu vẽ hình ra giấy chứ không bằng mấy có vẻ rất khó để nghĩ ra các yếu tố phụ đó



#4
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Làm sao để có thể tư duy ra các đường phụ như vậy vậy bạn? Ý mình nói là nếu vẽ hình ra giấy chứ không bằng mấy có vẻ rất khó để nghĩ ra các yếu tố phụ đó

Cm T thuộc trục đẳng phương thì khá tự nhiên.
Cách giải của mình xuất phát từ kết quả (AEF), (AMT), (O) đồng trục.
Điểm K là điểm phụ của bài toán mình từng làm, và tình cờ vẽ ra thì nó thuộc A'G :DD
Nhưng mình nghĩ nếu TM . TK = TE . TF thì ta nghĩ đến được hàng điểm rồi :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 09-11-2021 - 22:04





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh