Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$, tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$, nội tiếp $(O)$. $A'$ đối xứng $A$ qua $O$. $(A'EF)$ cắt $(O)$ tại $G$ và cắt $(AMG)$ tại $H$ với $M$ là trung điểm $EF$. Biết $GH$ cắt $EF$ tại $T$. Chứng minh $DT$ vuông góc $EF$.
Chứng minh $DT$ vuông góc $EF$
#1
Đã gửi 09-11-2021 - 12:13
#2
Đã gửi 09-11-2021 - 15:01
Trong lời giải này ta giả sử $T$ là hình chiếu của $D$ trên $EF$.
Ta sẽ chứng minh $T\in GH$.
Gọi $J$ là giao điểm thứ hai của $(AEF)$ và $(O)$.
Ta có kết quả quen thuộc là $\frac{TF}{TE}=\frac{BF}{CE}$.
$\Delta JFB\sim\Delta JEC\Rightarrow \frac{JF}{JE}=\frac{FB}{EC}=\frac{TF}{TE}$.
Do đó $JT$ là phân giác của $\widehat{FJE}$.
Mặt khác $A$ là điểm chính giữa cung $EF$ của $(AEF)$ nên $JA$ là phân giác ngoài của $\widehat{FJE}$.
Từ đó $JT\perp JA$ nên $J\in (AMT)$.
$AJ$ cắt $EF$ tại $K$. Dễ thấy $(EF,TK)=-1$.
Ta thấy $K$ là tâm đẳng phương của $(AEF),(O),(A'EF)$ nên $K,A',G$ thẳng hàng.
Vì $\widehat{AGK}=\widehat{AMK}=90^o$ nên $A,M,G,K$ đồng viên.
Do $(EF,TK)=-1$, theo hệ thức Maclaurin ta có $TM.TK=TE.TF$.
Suy ra $T$ nằm trên trục đẳng phương của $(AMG)$ và $(A'EF)$. Vậy $T\in (GH)$. (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 09-11-2021 - 15:02
- supermember yêu thích
#3
Đã gửi 09-11-2021 - 21:10
Trong lời giải này ta giả sử $T$ là hình chiếu của $D$ trên $EF$.
Ta sẽ chứng minh $T\in GH$.
Gọi $J$ là giao điểm thứ hai của $(AEF)$ và $(O)$.
Ta có kết quả quen thuộc là $\frac{TF}{TE}=\frac{BF}{CE}$.
$\Delta JFB\sim\Delta JEC\Rightarrow \frac{JF}{JE}=\frac{FB}{EC}=\frac{TF}{TE}$.
Do đó $JT$ là phân giác của $\widehat{FJE}$.
Mặt khác $A$ là điểm chính giữa cung $EF$ của $(AEF)$ nên $JA$ là phân giác ngoài của $\widehat{FJE}$.
Từ đó $JT\perp JA$ nên $J\in (AMT)$.
$AJ$ cắt $EF$ tại $K$. Dễ thấy $(EF,TK)=-1$.
Ta thấy $K$ là tâm đẳng phương của $(AEF),(O),(A'EF)$ nên $K,A',G$ thẳng hàng.
Vì $\widehat{AGK}=\widehat{AMK}=90^o$ nên $A,M,G,K$ đồng viên.
Do $(EF,TK)=-1$, theo hệ thức Maclaurin ta có $TM.TK=TE.TF$.
Suy ra $T$ nằm trên trục đẳng phương của $(AMG)$ và $(A'EF)$. Vậy $T\in (GH)$. (đpcm)
Làm sao để có thể tư duy ra các đường phụ như vậy vậy bạn? Ý mình nói là nếu vẽ hình ra giấy chứ không bằng mấy có vẻ rất khó để nghĩ ra các yếu tố phụ đó
#4
Đã gửi 09-11-2021 - 22:02
Cm T thuộc trục đẳng phương thì khá tự nhiên.Làm sao để có thể tư duy ra các đường phụ như vậy vậy bạn? Ý mình nói là nếu vẽ hình ra giấy chứ không bằng mấy có vẻ rất khó để nghĩ ra các yếu tố phụ đó
Cách giải của mình xuất phát từ kết quả (AEF), (AMT), (O) đồng trục.
Điểm K là điểm phụ của bài toán mình từng làm, và tình cờ vẽ ra thì nó thuộc A'G :DD
Nhưng mình nghĩ nếu TM . TK = TE . TF thì ta nghĩ đến được hàng điểm rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 09-11-2021 - 22:04
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh