Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của $a^2+b^2+c^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
KieranWilson

KieranWilson

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết

Cho các số thực không âm thỏa $a^3+b^3+c^3-3abc=1$

Tìm GTNN của $a^2+b^2+c^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KieranWilson: 09-11-2021 - 19:01


#2
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Từ giả thiết ta có $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=1$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{1}{a+b+c}+ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)=\frac{2}{a+b+c}+2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)=\frac{2}{a+b+c}+(a+b+c)^2$

Áp dụng AM GM ta có 

$\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}+(a+b+c)^2\geq 3$

Do đó$3(a^2+b^2+c^2)\geq 3$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 1$

Min $ a^2+b^2+c^2=1$ tại 

 $a=b=0,c=1$ hoặc $a=c=0,b=1$ hoặc $c=b=0,a=1


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)


#3
KieranWilson

KieranWilson

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết

Từ giả thiết ta có $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=1$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{1}{a+b+c}+ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)=\frac{2}{a+b+c}+2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)=\frac{2}{a+b+c}+(a+b+c)^2$

Áp dụng AM GM ta có 

$\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}+(a+b+c)^2\geq 3$

Do đó$3(a^2+b^2+c^2)\geq 3$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 1$

Min $ a^2+b^2+c^2=1$ tại 

 $a=b=0,c=1$ hoặc $a=c=0,b=1$ hoặc $c=b=0,a=1

cảm ơn bạn nhưng $a,b,c$ là số dương mà



#4
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

có thể do đề bài bạn sai hoặc mình làm nhầm 


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)


#5
KieranWilson

KieranWilson

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết

có thể do đề bài bạn sai hoặc mình làm nhầm 

vậy chắc mình viết nhầm đề



#6
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

vậy chắc mình viết nhầm đề

ok


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)


#7
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Khi a,b,c dương và giả thiết sửa lại thành $a^3+b^3+c^3+3abc=1$ thì bài toán sẽ rất đẹp

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có :$1=\left [ a(a^{2}+bc)+b(b^{2}+ac)+c(c^{2}+ab) \right ]^{2}\leqslant (a^{2}+b^{2}+c^{2})\left [ a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c) \right ]$

Mà $a^{4}+b^4+c^4+a^{2}b^{2}+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+2abc(a+b+c)-(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\leqslant (a^2+b^2+c^2)^{2}+abc(a+b+c)\leqslant \frac{4}{3}(a^2+b^2+c^2)^{2}$

Do đó $a^2+b^2+c^2\geqslant \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{\frac{1}{6}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-11-2021 - 21:30

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh