Đến nội dung


Hình ảnh

Đề kiểm tra thường xuyên lớp 10

kiểm tra thường xuyên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 ATHEIST

ATHEIST

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ, Hòa Bình
  • Sở thích:<Fiddle with the code>, <play a chess match> and <read light novels>

Đã gửi 12-11-2021 - 05:19

Đề kiểm tra thường xuyên lớp 10 chuyên Toán

Bài 1. (2 điểm) Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$(a+b+c)\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq \frac{4(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}-3$

Bài 2. (2 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x+f(y)+xf(y))=x+xy+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 3. (2 điểm) Biết rằng ba số $a,a+k,a+2k$ đều là các số nguyên tố lớn hơn 3. chứng minh rằng khi đó $k$ chia hết cho 6.

Bài 4. (2 điểm) Cho đa thức $P(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ và số nguyên $n$ thỏa mãn $P(2n),P(2n+1)$ đều là số lẻ. Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ không có nghiệm nguyên.

Bài 5. (2 điểm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $E,F$ là hai điểm bất kì nằm trên cạnh $AB,AC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BF,CE,EF$. Giả sử đường tròn $(MNP)$ tiếp xúc với $EF$. Chứng minh rằng $OE=OF$.



#2 Hoang72

Hoang72

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 247 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 12-11-2021 - 12:12

Bài 1. (2 điểm) Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$(a+b+c)\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq \frac{4(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}-3$

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

$\sum\frac{(b-c)^2}{bc}\geq \frac{2\sum(b-c)^2}{ab+bc+ca}$

$\Leftrightarrow \sum\frac{(ab+ac-bc)(b-c)^2}{bc}\geq 0$.

Ta có $S_a=\frac{ab+ac-bc}{bc};S_b=\frac{bc+ba-ca}{ca};S_c=\frac{ca+cb-ab}{ab}$.

Giả sử $a\geq b\geq c$.

Dễ thấy $S_b=\frac{bc+ba-ca}{ca}\geq 0$; $S_b+S_c=\frac{b}{c}+\frac{b}{a}-1+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}-1\geq 0$, $S_b+S_a=\frac{b}{c}+\frac{b}{a}-1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}-1\geq 0$.

Do đó theo định lý 2 SOS ta có $\sum S_a(b-c)^2\geq 0$.

Vậy bất đẳng thức ban đầu đúng. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$.



#3 nguyenlebaochau123

nguyenlebaochau123

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:PCT

Đã gửi 18-11-2021 - 10:30

 

Đề kiểm tra thường xuyên lớp 10 chuyên Toán

Bài 1. (2 điểm) Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$(a+b+c)\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq \frac{4(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}-3$

Bài 2. (2 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x+f(y)+xf(y))=x+xy+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 3. (2 điểm) Biết rằng ba số $a,a+k,a+2k$ đều là các số nguyên tố lớn hơn 3. chứng minh rằng khi đó $k$ chia hết cho 6.

Bài 4. (2 điểm) Cho đa thức $P(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ và số nguyên $n$ thỏa mãn $P(2n),P(2n+1)$ đều là số lẻ. Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ không có nghiệm nguyên.

Bài 5. (2 điểm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $E,F$ là hai điểm bất kì nằm trên cạnh $AB,AC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BF,CE,EF$. Giả sử đường tròn $(MNP)$ tiếp xúc với $EF$. Chứng minh rằng $OE=OF$.

 

Bài 3. 

Dễ thấy $k$ chẵn

Giả sử có $1$ trong $3$ số: $a, a+k, a+2k$ chia hết cho $3$ thì $1$ số phải bằng $3$ vô lí

Vậy ít nhất có $2$ trong $3$ số có cùng số dư khi chia cho $3$.

Trường hợp $1$: $a \equiv a+2k \pmod 3 \Longrightarrow 2k \vdots 3$ mà $(2,3)=1$ nên $k \vdots 3$ 

Trường hợp $2$: $a \equiv a+k \pmod 3 \Longrightarrow k \vdots 3$

Trường hợp $3$: $a+k \equiv a+2k \pmod 3 \Longrightarrow k \vdots 3$ 

Vậy cả $3$ trường hợp thì $k$ đều chia hết cho $3$ mà $k$ chẵn. Suy ra: $k \vdots 6$ (đpcm) 



#4 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Thích phương trình hàm và ghéc những thằng đòi học sớm 5p

Đã gửi 18-11-2021 - 14:48

Bài 2. (2 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f(x+f(y)+xf(y))=x+xy+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$$

 

Thay $y=0$ thì $f(x+f(0))=x$ suy ra $f$ là hàm toàn ánh

Do đó tồn tại $c\in\mathbb R$ sao cho $f(c)=0$

Thay $y=c$ ta được $f(x)=(c+1)x+c$, hay $f(x)=\alpha x+\beta$ với $\alpha , \beta$ là 2 hằng số bất kì.

Thay vào tìm được $\alpha =1$, $\beta = 1$ suy ra $f(x)=x, \forall x\in\mathbb R$, thỏa mãn phương trình hàm đề bài.



#5 nhatvinh2018

nhatvinh2018

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Đã gửi 19-11-2021 - 10:54

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

$\sum\frac{(b-c)^2}{bc}\geq \frac{2\sum(b-c)^2}{ab+bc+ca}$

$\Leftrightarrow \sum\frac{(ab+ac-bc)(b-c)^2}{bc}\geq 0$.

Ta có $S_a=\frac{ab+ac-bc}{bc};S_b=\frac{bc+ba-ca}{ca};S_c=\frac{ca+cb-ab}{ab}$.

Giả sử $a\geq b\geq c$.

Dễ thấy $S_b=\frac{bc+ba-ca}{ca}\geq 0$; $S_b+S_c=\frac{b}{c}+\frac{b}{a}-1+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}-1\geq 0$, $S_b+S_a=\frac{b}{c}+\frac{b}{a}-1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}-1\geq 0$.

Do đó theo định lý 2 SOS ta có $\sum S_a(b-c)^2\geq 0$.

Vậy bất đẳng thức ban đầu đúng. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$.



#6 ATHEIST

ATHEIST

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ, Hòa Bình
  • Sở thích:<Fiddle with the code>, <play a chess match> and <read light novels>

Đã gửi 20-11-2021 - 15:51

Thay $y=0$ thì $f(x+f(0))=x$ suy ra $f$ là hàm toàn ánh

Do đó tồn tại $c\in\mathbb R$ sao cho $f(c)=0$

Thay $y=c$ ta được $f(x)=(c+1)x+c$, hay $f(x)=\alpha x+\beta$ với $\alpha , \beta$ là 2 hằng số bất kì.

Thay vào tìm được $\alpha =1$, $\beta = 1$ suy ra $f(x)=x, \forall x\in\mathbb R$, thỏa mãn phương trình hàm đề bài.

Cái này còn 1 hàm $f(x)=-x-2$ nữa anh ơi   :icon6:



#7 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Thích phương trình hàm và ghéc những thằng đòi học sớm 5p

Đã gửi 20-11-2021 - 22:14

Cái này còn 1 hàm $f(x)=-x-2$ nữa anh ơi   :icon6:

 

à thì tại anh lười tính á chứ nếu tính lại thì sẽ có hàm đó thôi  :icon6: . Cái chính vẫn là đưa ra hàm tuyến tính. 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh