Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:
$xf(x+y)+yf(y-x)=f^2(x)+f^2(y), \forall x,y\in \mathbb{R}$
Thay $x=y=0$ ta có $f(0)=0$.
Thay $y=0$ ta có $xf(x)=f^2(x),\forall x,y\in\mathbb R$.
Do đó giả thiết được viết lại thành $xf(x+y)+yf(y-x)=xf(x)+yf(y),\forall x,y\in\mathbb R$. (1)
Thay $x$ bởi $y$ vào (1) ta có $xf(2x)=2xf(x)\Rightarrow 2f(x)=f(2x),\forall x\in\mathbb R$.
Thay $y$ bởi $2x$ vào (1) ta có $xf(3x)+2xf(x)=xf(x)+2xf(2x)\Rightarrow f(3x)=3f(x),\forall x\in\mathbb R$.
Thay $x$ bởi $2y$ vào (1) ta có $2yf(3y)+yf(-y)=2yf(2y)+yf(y)\Rightarrow f(-y)=f(y),\forall y\in\mathbb R$.
Từ đó $f$ là hàm lẻ. Hoán đổi vị trí của $x,y$ trong (1) ta có $yf(x+y)+xf(x-y)=xf(x+y)+yf(y-x),\forall x,y\in\mathbb R$
$\Rightarrow (x-y)f(x+y)=(x+y)f(x-y),\forall x,y\in\mathbb R$. (2)
Thay $x$ bởi $\frac{x+1}{2}$, $y$ bởi $\frac{x-1}{2}$ vào (2) ta có $f(x)=xf(1),\forall x\in\mathbb R$.
Thay lại ta thấy $a=0$ hoặc $a=1$.
Vậy $f(x)=0,\forall x\in\mathbb R$; $f(x)=x,\forall x\in\mathbb R$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 13-11-2021 - 19:47
Thay $x=y=0$ ta có $f(0)=0$.
Thay $y=0$ ta có $xf(x)=f^2(x),\forall x,y\in\mathbb R$.
Do đó giả thiết được viết lại thành $xf(x+y)+yf(y-x)=xf(x)+yf(y),\forall x,y\in\mathbb R$. (1)
Thay $x$ bởi $y$ vào (1) ta có $xf(2x)=2xf(x)\Rightarrow 2f(x)=f(2x),\forall x\in\mathbb R$.
Thay $y$ bởi $2x$ vào (1) ta có $xf(3x)+2xf(x)=xf(x)+2xf(2x)\Rightarrow f(3x)=3f(x),\forall x\in\mathbb R$.
Thay $x$ bởi $2y$ vào (1) ta có $2yf(3y)+yf(-y)=2yf(2y)+yf(y)\Rightarrow f(-y)=f(y),\forall y\in\mathbb R$.
Từ đó $f$ là hàm lẻ. Hoán đổi vị trí của $x,y$ trong (1) ta có $yf(x+y)+xf(x-y)=xf(x+y)+yf(y-x),\forall x,y\in\mathbb R$
$\Rightarrow (x-y)f(x+y)=(x+y)f(x-y),\forall x,y\in\mathbb R$. (2)
Thay $x$ bởi $\frac{x+1}{2}$, $y$ bởi $\frac{x-1}{2}$ vào (2) ta có $f(x)=xf(1),\forall x\in\mathbb R$.
Thay lại ta thấy $a=0$ hoặc $a=1$.
Vậy $f(x)=0,\forall x\in\mathbb R$; $f(x)=x,\forall x\in\mathbb R$.
Bạn có thể cho mình hỏi phần chứng minh hàm lẻ là để chi á bạn?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dennis Nguyen: 13-11-2021 - 21:55
Bạn có thể cho mình hỏi phần chứng minh hàm lẻ là để chi á bạn?
Để có $f(x-y)=-f(y-x)$
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:
$xf(x+y)+yf(y-x)=f^2(x)+f^2(y), \forall x,y\in \mathbb{R}$
Giả sử tồn tại hàm $xf(x+y)+yf(y-x)=f^2(x)+f^2(y)$ $<1>$
Gọi $(x,y)$ là phép thế $x,y$ vào hàm $<1>$
Ta có:
$(0,0)\Rightarrow f(0)=0$
$(y,y)\Rightarrow yf(2y)=2f^2(y)$ @1
$(-y,y)\Rightarrow yf(2y)=f^2(-y)+f^2(y)$ @2
$(0,y)\Rightarrow yf(y)=f^2(y)$ @3
$(0,-y)\Rightarrow -yf(-y)=f^2(-y)$ @4
Từ (@1),(@2),(@3),(@4) $\Rightarrow yf(-y)=-yf(y)$
$\Rightarrow f(-y)=-f(y)\forall y\neq 0$
mà $f(0)=0$ $\Rightarrow f(-y)=-f(y),\forall y\in \mathbb{R}$
$(x,-y) \Rightarrow -xf(y-x)-yf(x+y)=f^2(x)+f^2(-y)$ @5
Lấy $<1>$ - @5 vế theo vế, ta được:
$(x+y)(f(y-x)+f(x+y))=2f^2(y)$ @6
Thay x=y vào @6, ta được:
$yf(2y)=f^2(y)$ @7
@1 kết hợp với @7
$\Rightarrow f(y)=0$
Thử lại thấy thỏa mãn, vậy đây là hàm cần tìm
(Cách này ra chỉ 1 TH )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ATHEIST: 14-11-2021 - 06:27
Nếu em sai xin chỉ giáo ạ!
Giả sử tồn tại hàm $xf(x+y)+yf(y-x)=f^2(x)+f^2(y)$ $<1>$
Gọi $(x,y)$ là phép thế $x,y$ vào hàm $<1>$
Ta có:
$(0,0)\Rightarrow f(0)=0$
$(y,y)\Rightarrow yf(2y)=2f^2(y)$ @1
$(-y,y)\Rightarrow yf(2y)=f^2(-y)+f^2(y)$ @2
$(0,y)\Rightarrow yf(y)=f^2(y)$ @3
$(0,-y)\Rightarrow -yf(-y)=f^2(-y)$ @4
Từ (@1),(@2),(@3),(@4) $\Rightarrow yf(-y)=-yf(y)$
$\Rightarrow f(-y)=-f(y)\forall y\neq 0$
mà $f(0)=0$ $\Rightarrow f(-y)=-f(y),\forall y\in \mathbb{R}$
$(x,-y) \Rightarrow -xf(y-x)-yf(x+y)=f^2(x)+f^2(-y)$ @5
Lấy $<1>$ - @5 vế theo vế, ta được:
$(x+y)(f(y-x)+f(x+y))=2f^2(y)$ @6
Thay x=y vào @6, ta được:
$yf(2y)=f^2(y)$ @7
@1 kết hợp với @7
$\Rightarrow f(y)=0$
Thử lại thấy thỏa mãn, vậy đây là hàm cần tìm
(Cách này ra chỉ 1 TH )
Thay $y$ bởi $x$ vào (6) của ban được cái y hệt như cái (1) nên không rút gọn được
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh