Đến nội dung

Hình ảnh

$xf(x+y)+yf(y-x)=f^2(x)+f^2(y), \forall x,y\in \mathbb{R}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Dennis Nguyen

Dennis Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:

$xf(x+y)+yf(y-x)=f^2(x)+f^2(y), \forall x,y\in \mathbb{R}$



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Thay $x=y=0$ ta có $f(0)=0$.

Thay $y=0$ ta có $xf(x)=f^2(x),\forall x,y\in\mathbb R$.

Do đó giả thiết được viết lại thành $xf(x+y)+yf(y-x)=xf(x)+yf(y),\forall x,y\in\mathbb R$. (1)

Thay $x$ bởi $y$ vào (1) ta có $xf(2x)=2xf(x)\Rightarrow 2f(x)=f(2x),\forall x\in\mathbb R$.

Thay $y$ bởi $2x$ vào (1) ta có $xf(3x)+2xf(x)=xf(x)+2xf(2x)\Rightarrow f(3x)=3f(x),\forall x\in\mathbb R$.

Thay $x$ bởi $2y$ vào (1) ta có $2yf(3y)+yf(-y)=2yf(2y)+yf(y)\Rightarrow f(-y)=f(y),\forall y\in\mathbb R$.

Từ đó $f$ là hàm lẻ. Hoán đổi vị trí của $x,y$ trong (1) ta có $yf(x+y)+xf(x-y)=xf(x+y)+yf(y-x),\forall x,y\in\mathbb R$

$\Rightarrow (x-y)f(x+y)=(x+y)f(x-y),\forall x,y\in\mathbb R$. (2)

Thay $x$ bởi $\frac{x+1}{2}$, $y$ bởi $\frac{x-1}{2}$ vào (2) ta có $f(x)=xf(1),\forall x\in\mathbb R$.

Thay lại ta thấy $a=0$ hoặc $a=1$.

Vậy $f(x)=0,\forall x\in\mathbb R$; $f(x)=x,\forall x\in\mathbb R$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 13-11-2021 - 19:47


#3
Dennis Nguyen

Dennis Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Thay $x=y=0$ ta có $f(0)=0$.

Thay $y=0$ ta có $xf(x)=f^2(x),\forall x,y\in\mathbb R$.

Do đó giả thiết được viết lại thành $xf(x+y)+yf(y-x)=xf(x)+yf(y),\forall x,y\in\mathbb R$. (1)

Thay $x$ bởi $y$ vào (1) ta có $xf(2x)=2xf(x)\Rightarrow 2f(x)=f(2x),\forall x\in\mathbb R$.

Thay $y$ bởi $2x$ vào (1) ta có $xf(3x)+2xf(x)=xf(x)+2xf(2x)\Rightarrow f(3x)=3f(x),\forall x\in\mathbb R$.

Thay $x$ bởi $2y$ vào (1) ta có $2yf(3y)+yf(-y)=2yf(2y)+yf(y)\Rightarrow f(-y)=f(y),\forall y\in\mathbb R$.

Từ đó $f$ là hàm lẻ. Hoán đổi vị trí của $x,y$ trong (1) ta có $yf(x+y)+xf(x-y)=xf(x+y)+yf(y-x),\forall x,y\in\mathbb R$

$\Rightarrow (x-y)f(x+y)=(x+y)f(x-y),\forall x,y\in\mathbb R$. (2)

Thay $x$ bởi $\frac{x+1}{2}$, $y$ bởi $\frac{x-1}{2}$ vào (2) ta có $f(x)=xf(1),\forall x\in\mathbb R$.

Thay lại ta thấy $a=0$ hoặc $a=1$.

Vậy $f(x)=0,\forall x\in\mathbb R$; $f(x)=x,\forall x\in\mathbb R$.

Bạn có thể cho mình hỏi phần chứng minh hàm lẻ là để chi á bạn?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dennis Nguyen: 13-11-2021 - 21:55


#4
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Bạn có thể cho mình hỏi phần chứng minh hàm lẻ là để chi á bạn?

Để có $f(x-y)=-f(y-x)$



#5
ATHEIST

ATHEIST

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:

$xf(x+y)+yf(y-x)=f^2(x)+f^2(y), \forall x,y\in \mathbb{R}$

Giả sử tồn tại hàm $xf(x+y)+yf(y-x)=f^2(x)+f^2(y)$ $<1>$

Gọi $(x,y)$ là phép thế $x,y$ vào hàm $<1>$

Ta có: 

$(0,0)\Rightarrow f(0)=0$

$(y,y)\Rightarrow yf(2y)=2f^2(y)$ @1

$(-y,y)\Rightarrow yf(2y)=f^2(-y)+f^2(y)$ @2

$(0,y)\Rightarrow yf(y)=f^2(y)$ @3

$(0,-y)\Rightarrow -yf(-y)=f^2(-y)$ @4

Từ (@1),(@2),(@3),(@4) $\Rightarrow yf(-y)=-yf(y)$

$\Rightarrow f(-y)=-f(y)\forall y\neq 0$

mà $f(0)=0$ $\Rightarrow f(-y)=-f(y),\forall y\in \mathbb{R}$

$(x,-y) \Rightarrow -xf(y-x)-yf(x+y)=f^2(x)+f^2(-y)$ @5

Lấy $<1>$ - @5 vế theo vế, ta được:

$(x+y)(f(y-x)+f(x+y))=2f^2(y)$ @6

Thay x=y vào @6, ta được:

$yf(2y)=f^2(y)$ @7

@1 kết hợp với @7 

$\Rightarrow f(y)=0$

Thử lại thấy thỏa mãn, vậy đây là hàm cần tìm

(Cách này ra chỉ 1 TH  :( )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ATHEIST: 14-11-2021 - 06:27

Nếu em sai xin chỉ giáo ạ!


#6
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Giả sử tồn tại hàm $xf(x+y)+yf(y-x)=f^2(x)+f^2(y)$ $<1>$

Gọi $(x,y)$ là phép thế $x,y$ vào hàm $<1>$

Ta có: 

$(0,0)\Rightarrow f(0)=0$

$(y,y)\Rightarrow yf(2y)=2f^2(y)$ @1

$(-y,y)\Rightarrow yf(2y)=f^2(-y)+f^2(y)$ @2

$(0,y)\Rightarrow yf(y)=f^2(y)$ @3

$(0,-y)\Rightarrow -yf(-y)=f^2(-y)$ @4

Từ (@1),(@2),(@3),(@4) $\Rightarrow yf(-y)=-yf(y)$

$\Rightarrow f(-y)=-f(y)\forall y\neq 0$

mà $f(0)=0$ $\Rightarrow f(-y)=-f(y),\forall y\in \mathbb{R}$

$(x,-y) \Rightarrow -xf(y-x)-yf(x+y)=f^2(x)+f^2(-y)$ @5

Lấy $<1>$ - @5 vế theo vế, ta được:

$(x+y)(f(y-x)+f(x+y))=2f^2(y)$ @6

Thay x=y vào @6, ta được:

$yf(2y)=f^2(y)$ @7

@1 kết hợp với @7 

$\Rightarrow f(y)=0$

Thử lại thấy thỏa mãn, vậy đây là hàm cần tìm

(Cách này ra chỉ 1 TH  :( )

 

Thay $y$ bởi $x$ vào (6) của ban được cái y hệt như cái (1) nên không rút gọn được






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh