1) Hai phương trình $x^2+(a-1)x+1=0; x^2+(b+1)+c=0$ có nghiệm chung, đồng thời hai phương trình $x^2+x+a-1=0;x^2+cx+b+1=0$ cũng có nghiệm chung. Tính $\frac{2004a}{b+c}$
2) Cho hàm số $f(x)=ax^2+bx+c$ thỏa mãn $|f(-1)|\leqslant 1, |f(0)|\leqslant 1, |f(1)|\leqslant 1$. Chứng minh rằng $|f(x)|\leqslant \frac{5}{4}$ khi $|x| \leqslant 1$
Hình như đề bài câu 1 là :1) Hai phương trình $x^2+(a-1)x+1=0 (1); x^2+(b+1)x+c=0(2)$ có nghiệm chung, đồng thời hai phương trình $x^2+x+a-1=0(3);x^2+cx+b+1=0(4)$ cũng có nghiệm chung. Tính $\frac{2004a}{b+c}$
Nếu đề bài như vậy thì giải như sau:
Để phương trình (1) có nghiệm thì $\Delta_1=a^2+2a-3>0 \Leftrightarrow a\geq3;a\geq-1$
Gọi $x_0$ là nghiệm chung của phương trình $(1);(2)$,ta có $\left\{\begin{matrix} & x_0^2 +(a-1)x_0+1=0\\ & x_0^2+(b+1)x+c=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow (a-b-2)x_0=c-1$
Gọi $x_1$ là nghiệm chung của phương trình $(3);(4)$ ta có $\left\{\begin{matrix} & x_1^2+x+a-1=0\\ & x_1^2 +cx_1+b+1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow (c-1)x_1=a-b-2$
Nếu $a=b+2;c=1$ thì $x=\frac{1-a\pm \sqrt{a^2+2a-3}}{2}$.Thế vào (1) ta có $\frac{(1-a\pm \sqrt{a^2+2a-3})^2}{4}+\frac{(a-1)(1-a\pm \sqrt{a^2+2a-3})}{2}+1=0$ (giải ra a rồi đối chiếu với điều kiện (1) có nghiệm thấy a không thỏa mãn)
Nếu $a \neq b+2;c=1$$\Rightarrow x_0=0$.Thế vào (1) ta có 1=0(vô lý)
Nếu $a \neq b+2;c \neq 1$ thì $x_0=\frac{c-1}{a-b-2}$ và $x_1=\frac{a-b-2}{c-1}$
Áp dụng hệ thức viet cho phương trình (1) ta có $x_0x_2=1$ $\Rightarrow x_2=\frac{a-b-2}{c-1}=x_1$, với $x_2$ là nghiệm còn lại của (1)
Vậy phương trình (1) và (3) có nghiệm chung $x_1$ ta có $\left\{\begin{matrix} & x_1^2+(a-1)x_1+1=0\\ & x_1^2+x_1+a-1=0 \end{matrix}\right.$$\Rightarrow x_1=1$
Thế $x_1=1$ vào phương trình (3) ta có $a=-1$.Mặt khác suy ra $a-b-2=c-1\Rightarrow b+c=-2$
Vậy $\frac{2004a}{b+c}=1002$