Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm các số hữu tỉ $a,b$ thỏa mãn đẳng thức $\sqrt{a\sqrt{7}}-\sqrt{b\sqrt{7}}=\sqrt{11\sqrt{7}-28}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Một số bài đại số 

 

Hình gửi kèm

  • 252713300_2380560452076790_6952458295181852746_n.jpg

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#2
nhancccp

nhancccp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết

Câu 2)ĐK:$x\geq0$

Đặt $a=b+c;b=\sqrt[3]{3+\sqrt{x}};c=\sqrt[3]{3-\sqrt{x}}$

Lập phương 2 vế ta có $a^3=b^3+c^3+3bc(b+c)$.Dễ thấy $b^3+c^3=6;$$bc=\sqrt[3]{9-x}$

Vậy $a^3-3a\sqrt[3]{9-x}-6=0 (1)$.

Vì $a\in Z$ nên phương trình 1 có nghiệm nguyên $a=1;a=-1;a=2;a=-2;a=3;a=-3;a=6;a=-6$

Từ đó thế từng giá trị của $a$ vào $(1)$ rồi tính $x$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhancccp: 18-07-2023 - 10:23

Chuông vẳng nơi nao nhớ lạ lùng
Ra đi ai chẳng nhớ chùa chung
Mái chùa che chở hồn dân tộc 
Nếp sống bao đời của tổ tông
Thích Mãn Giác

#3
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Câu 3. 2) Nhân cả hai vế phương trình với $\sqrt[4]{7}$. Khi đó vế phải của phương trình trở thành $$\sqrt{77-28\sqrt{7}}=\sqrt{77-2.7.\sqrt{28}}=\sqrt{(7-\sqrt{28})^2}=7-\sqrt{28}=\sqrt{7}(\sqrt{7}-2)$$ còn vế trái của phương trình trở thành $$ \sqrt{7}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$$ do đó ta có phương trình tương đương $$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{7}-2.$$ 

Bình phương hai vế phương trình và biến đổi ta có \begin{equation} a+b-11=2\sqrt{ab}-4\sqrt{7} \end{equation}

Lại bình phương hai vế và biến đổi ta được $$ (a+b-11)^2-(4ab+112)=16\sqrt{7ab}$$ 

Vế trái là một số hữu tỉ, do đó $7ab=m^2$ với $m$ là số hữu tỉ không âm.

Bây giờ nếu $a+b \neq 11$ khi đó từ phương trình $(1)$ ta suy ra $$ a+b-11=\frac{2m}{\sqrt{7}}-4\sqrt{7}$$ hay $$\frac{2m-28}{a+b-11}=\sqrt{7}$$ phương trình trên có vế trái là số hữu tỉ, còn vế phải là số vô tỉ, do đó không có nghiệm hữu tỉ. 

Vậy ta phải có $a+b=11$, dẫn tới $m=14$ hay $ab=28$. Chú ý điều kiện $a>b$, giải ra ta được $a=7, b=4$. 

 

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm hữu tỉ duy nhất $(a;b)$ là $(7;4)$. 


"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#4
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Vậy $a^3-3a\sqrt[3]{9-x}-6=0 (1)$.

Vì $a\in Z$ nên phương trình 1 có nghiệm nguyên $a=1;a=-1;a=2;a=-2;a=3;a=-3;a=6;a=-6$

 

Chỗ này mình chưa hiểu. 


"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#5
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Chỗ này mình chưa hiểu. 

Hình gửi kèm

  • Screenshot 2023-07-18 233114.png

"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#6
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Hệ số $3\sqrt[3]{9-x}$ của đa thức $P(a)=a^3-3\sqrt[3]{9-x}.a-6$ chưa chắc là số nguyên nên định lý trên không áp dụng được. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 19-07-2023 - 01:17

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#7
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Bài 2. Đặt $n=\sqrt[3]{3+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{3-\sqrt{x}}$ với $n$ là số nguyên. Lập phương hai vế đẳng thức ta được $$n^3=6+3\sqrt[3]{9-x}n$$ với lưu ý $n>0$ đẳng thức này  tương đương với  $$x=9-\left( \frac{n^3-6}{3n}\right)^3$$ Từ  đây điều kiện xác định $x\geq 0$ tương đương với $$n^3-3\sqrt[3]{9}n\leq 6$$

Ta có với $n\geq 3$ thì $$(n^3-3\sqrt[3]{9}n) - (3^3-3\sqrt[3]{9}.3)=(n-3)(n^2+3n+9-3\sqrt[3]{9}) \geq  0$$ suy ra $$n^3-3\sqrt[3]{9}n \geq 3^3-3\sqrt[3]{9}.3 >6$$

Như vậy, ta phải có $0<n<3$. Suy ra $n=1$ hoặc $n=2$. 

 

Ta có $n=1$ khi và chỉ khi $x=\frac{368}{27}$, còn $n=2$ khi và chỉ khi $x=\frac{242}{27}$. 

 

Vậy tất cả các giá trị $x$ thỏa mãn là $\frac{368}{27}$ và $\frac{242}{27}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 19-07-2023 - 02:15

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#8
nhancccp

nhancccp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết

Bài 2. Đặt $n=\sqrt[3]{3+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{3-\sqrt{x}}$ với $n$ là số nguyên. Lập phương hai vế đẳng thức ta được $$n^3=6+3\sqrt[3]{9-x}n$$ với lưu ý $n>0$ đẳng thức này  tương đương với  $$x=9-\left( \frac{n^3-6}{3n}\right)^3$$ Từ  đây điều kiện xác định $x\geq 0$ tương đương với $$n^3-3\sqrt[3]{9}n\leq 6$$

Ta có với $n\geq 3$ thì $$(n^3-3\sqrt[3]{9}n) - (3^3-3\sqrt[3]{9}.3)=(n-3)(n^2+3n+9-3\sqrt[3]{9}) \geq  0$$ suy ra $$n^3-3\sqrt[3]{9}n \geq 3^3-3\sqrt[3]{9}.3 >6$$

Như vậy, ta phải có $0<n<3$. Suy ra $n=1$ hoặc $n=2$. 

 

Ta có $n=1$ khi và chỉ khi $x=\frac{368}{27}$, còn $n=2$ khi và chỉ khi $x=\frac{242}{27}$. 

 

Vậy tất cả các giá trị $x$ thỏa mãn là $\frac{368}{27}$ và $\frac{242}{27}$.

Thưa thầy:đề bài chỉ cho $n$ là một số nguyên nhưng không cho $n>0$ đâu ạ(1),còn chỗ"Từ đây điều kiện xác định..." thì em chưa hiểu lắm,em thử lại các giá trị của $n$(nếu giả sử $3n\sqrt[3]{9-x} $ là số nguyên,thì $n$ có nghiệm nguyên,sau đó thử lại từng giá trị một) thì thấy chỉ $n=1;n=2$ là có $x>0$ thôi còn các giá trị kia thì  có $x\in \left \{ \frac{-100}{27};\frac{-1088}{27};\frac{-42632}{27};\frac{-50410}{27} \right \}$ nên loại hết.

Mong thầy giải thích thêm ạ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhancccp: 19-07-2023 - 09:59

Chuông vẳng nơi nao nhớ lạ lùng
Ra đi ai chẳng nhớ chùa chung
Mái chùa che chở hồn dân tộc 
Nếp sống bao đời của tổ tông
Thích Mãn Giác

#9
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Thưa thầy:đề bài chỉ cho $n$ là một số nguyên nhưng không cho $n>0$ đâu ạ(1),còn chỗ"Từ đây điều kiện xác định..." thì em chưa hiểu lắm,em thử lại các giá trị của $n$(nếu giả sử $3n\sqrt[3]{9-x} $ là số nguyên,thì $n$ có nghiệm nguyên,sau đó thử lại từng giá trị một) thì thấy chỉ $n=1;n=2$ là có $x>0$ thôi còn các giá trị kia thì  có $x\in \left \{ \frac{-100}{27};\frac{-1088}{27};\frac{-42632}{27};\frac{-50410}{27} \right \}$ nên loại hết.

Mong thầy giải thích thêm ạ.

 

Chỗ $n>0$ quan trọng, nhưng bởi nó đơn giản nên mình không chứng minh rõ ra. Cụ thể $n>0$ tương đương với $3+\sqrt{x}>-3+\sqrt{x}$ nói cách khác là $3>-3$, luôn đúng.  

 

Còn chỗ điều kiện xác định $x\geq 0$ tương đương với $n^3-3\sqrt[3]{9}.n\leq 6$ do đã có đủ hai điều điều kiện là đẳng thức $x=9-...$ và $n>0$. 

 

Logic của nó có nghĩa là vì $x\geq 0$ nên ta phải có $n^3-3\sqrt[3]{9}.n\leq 6$. Từ đây mình loại đi các giá trị của $n \geq 3$, bởi với mọi $n\geq 3$ thì $n^3-3\sqrt[3]{9}.n>6 $ như chứng minh ở phần dưới. Điều kiện $x\geq 0$ đã giúp ta giới hạn lại giá trị của $n$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 19-07-2023 - 10:15

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#10
nhancccp

nhancccp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết

Chỗ $n>0$ quan trọng, nhưng bởi nó đơn giản nên mình không chứng minh rõ ra. Cụ thể $n>0$ tương đương với $3+\sqrt{x}>-3+\sqrt{x}$ nói cách khác là $3>-3$, luôn đúng.  

 

Còn chỗ điều kiện xác định $x\geq 0$ tương đương với $n^3-3\sqrt[3]{9}.n\leq 6$ do đã có đủ hai điều điều kiện là đẳng thức $x=9-...$ và $n>0$. 

 

Logic của nó có nghĩa là vì $x\geq 0$ nên ta phải có $n^3-3\sqrt[3]{9}.n\leq 6$. Từ đây mình loại đi các giá trị của $n \geq 3$, bởi với mọi $n\geq 3$ thì $n^3-3\sqrt[3]{9}.n>6 $ như chứng minh ở phần dưới. Điều kiện $x\geq 0$ đã giúp ta giới hạn lại giá trị của $n$. 

Vậy làm theo cách của thầy ta sẽ loại đi được các giá trị âm và các giá trị lớn hơn (hoặc =) 3 từ đó bài toán trở nên đơn giản.


Chuông vẳng nơi nao nhớ lạ lùng
Ra đi ai chẳng nhớ chùa chung
Mái chùa che chở hồn dân tộc 
Nếp sống bao đời của tổ tông
Thích Mãn Giác

#11
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Vậy làm theo cách của thầy ta sẽ loại đi được các giá trị âm và các giá trị lớn hơn (hoặc =) 3 từ đó bài toán trở nên đơn giản.

 

Đúng rồi. Ban đầu mình nghĩ chỉ cần công thức tổng quát $x=9-\left( \frac{n^3-6}{3n} \right)^3$ là đủ nhưng bởi vì $x \geq 0$ nên ta phải có $0<n<3$. 


"Hap$\pi$ness is only real when shared."




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh