Nhờ các bạn giúp đỡ giải bài toán sau mà không sử dụng quy tắc L'hospital, xin cảm ơn
Chứng minh rằng: $\lim_{x\rightarrow 1}\left ( \frac{a}{1-x^a} - \frac{b}{1-x^b} \right )=\frac{a-b}{2} \left (a,b\in \mathbb{N} \right )$
Nhờ các bạn giúp đỡ giải bài toán sau mà không sử dụng quy tắc L'hospital, xin cảm ơn
Chứng minh rằng: $\lim_{x\rightarrow 1}\left ( \frac{a}{1-x^a} - \frac{b}{1-x^b} \right )=\frac{a-b}{2} \left (a,b\in \mathbb{N} \right )$
Ta có đẳng thức
$$1-x^a=(1-a)(1+x+x^2+...+x^{a-1}).$$
Do đó
\begin{align*}\lim_{x\to 1}\left ( \frac{a}{1-x^a} - \frac{1}{1-x} \right ) &=\lim_{x\to 1} \dfrac{a-(1+x+x^2+...+x^{a-1})}{1-x^a} \\ &=\lim_{x\to 1} \dfrac{(1-x)+(1-x^2)+...(1-x^{a-1})}{1-x^a} \\ &=\lim_{x\to 1} \dfrac{(1-x)\left[1+(1+x)+...+(1+x+...x^{a-2})\right]}{(1-x)(1+x+x^2+...+x^{a-1})} \\ &=\lim_{x\to 1} \dfrac{1+(1+x)+...+(1+x+...x^{a-2})}{1+x+x^2+...+x^{a-1}} \\ &=\dfrac{1+2+...+(a-1)}{1+2+...+a}=\dfrac{a(a-1)}{2a}=\dfrac{a-1}{2}. \end{align*}
Tương tự ta cũng có
$$\lim_{x\to 1}\left ( \frac{1}{1-x} -\frac{a}{1-x^a} \right ) =-\dfrac{b-1}{2}.$$
Do đó
$$\lim_{x\rightarrow 1}\left ( \frac{a}{1-x^a} - \frac{b}{1-x^b} \right ) =\dfrac{a-1}{2} -\dfrac{b-1}{2} = \dfrac{a-b}{2}.$$
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
Xin cảm ơn bạn, tôi cũng đã tìm ra lời giải cho bài toán này từ lâu, nhưng cực kỳ cồng kềnh và phức tạp.
Lời giải của bạn thật hay, ngắn gọn và đơn giản.
Ta đánh giá xấp xỉ của $1-x^r$ ($r \in \mathbb{R}$) tại lân cận của $1$. Đặt $y = 1-x$, thế thì $1-x^r = 1-(1-y)^r$, sử dụng khai triển Taylor tại điểm $0$ cho $(1-y)^r$ ta thu được:
$$(1-y)^r = 1 - ry + \frac{r(r-1)}{2} y^2 + \mathcal{o}(y^2)$$
Từ đó:
$$\frac{1}{1-x^r} = \frac{1}{1- (1-y)^r} = \frac{1}{ry - \frac{r(r-1)}{2} y^2 + \mathcal{o}(y^2)} = \frac{1}{ry} + \frac{r-1}{2r} + o(1)$$
Hay là:
$$\frac{r}{1-x^r} = \frac{1}{1-x} + \frac{r-1}{2} + \mathcal{o}(1)$$
Suy ra:
$$\frac{a}{1-x^a} - \frac{b}{1-x^b} = \frac{a-b}{2} + \mathcal{o}(1)$$
Điều này chính là phát biểu tương đương với biểu thức giới hạn của đề bài (với ràng buộc lỏng hơn $a,b \in \mathbb{R}$).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 24-10-2023 - 20:19
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh