Đến nội dung

Hình ảnh

$$a^3+b^3+c^3+d^3=3(abc+bcd+cda+dab).$$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Khoinguyen2007

Khoinguyen2007

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

Cho bốn số thực phân biệt $a, b, c, d$ thỏa mãn

$$(a^2+b^2-69)(a+b)=(b^2+c^2-69)(b+c)=(c^2+d^2-69)(c+d).$$

Chứng minh rằng

$$a^3+b^3+c^3+d^3=3(abc+bcd+cda+dab).$$



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Ta có: $(a^2+b^2-69)(a+b)=(b^2+c^2-69)(b+c)$

$\Leftrightarrow (a^2+b^2)(a+b)-(b^2+c^2)(b+c)=69(a+b)-69(b+c)$

$\Leftrightarrow (a-c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)=(a-c).69$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=69$.

Tương tự, từ $(b^2+c^2-69)(b+c)=(c^2+d^2-69)(c+d)$ ta suy ra $b^2+c^2+d^2+bc+cd+db=69$.

Do đó $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=b^2+c^2+d^2+bc+cd+db$

$\Leftrightarrow (a+b+c+d)(a-d)=0\Leftrightarrow d=-(a+b+c)$.

Từ đó $a^3+b^3+c^3+d^3-3(abc+bcd+cda+dab)=a^3+b^3+c^3-(a+b+c)^3-3abc+3(a+b+c)(ab+bc+ca)=a^3+b^3+c^3-(a+b+c)^3+3(a+b)(b+c)(c+a)=0$.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh