Tìm $a,n$ nguyên dương để $a^{n^2+2n-1}-99$ là số chính phương.
Tìm $a,n$ nguyên dương để $a^{n^2+2n-1}-99$ là số chính phương
#1
Đã gửi 21-11-2021 - 20:49
#2
Đã gửi 22-11-2021 - 09:10
Tìm $a,n$ nguyên dương để $a^{n^2+2n-1}-99$ là số chính phương.
Giả sử $a^{n^2+2n-1}-99=b^2\ (1)$
$\bullet$ TH1: $n$ lẻ
Khi đó $n^2+2n-1=2m$. Ta viết lại $(1)$ dưới dạng $(a^m-b)(a^m+b)=99$. Tới đây tìm được
$$(a,n)\in \{(10,1),(18,1),(50,1)\}$$
$\bullet$ TH1: $n$ chẵn
Ta sẽ chứng minh không tồn tại nghiệm trong trường hợp này. Nhận thấy $n^2+2n-1=4k+3$
- Nếu $a$ chẵn thì $b^2\equiv 5\pmod{8}$ (vô lí)
- Nếu $a\equiv 1\pmod{4}$ thì $b^2\equiv 2\pmod{4}$ (vô lí)
- Nếu $a\equiv 3\pmod{4}$, ta viết lại $(1)$ dưới dạng
$$a^{4k+3}+1=b^2+10^2$$
Vì $(a^{4k+3}+1)/(a+1)\equiv 3\pmod{4}$ nên tồn tại số nguyên tố $p\equiv 3\pmod{4}$ là ước của $a^{4k+3}+1$. Suy ra $p\mid b^2+10^2$, điều này dẫn tới $p\mid 10$ (vô lí)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 22-11-2021 - 09:11
- supermember, Lemonjuice, toilaaiiiday và 2 người khác yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh