Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm $a,n$ nguyên dương để $a^{n^2+2n-1}-99$ là số chính phương


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Dennis Nguyen

Dennis Nguyen

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 44 Bài viết

Đã gửi 21-11-2021 - 20:49

Tìm $a,n$ nguyên dương để $a^{n^2+2n-1}-99$ là số chính phương.



#2 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 469 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 22-11-2021 - 09:10

Tìm $a,n$ nguyên dương để $a^{n^2+2n-1}-99$ là số chính phương.

Giả sử $a^{n^2+2n-1}-99=b^2\ (1)$

$\bullet$ TH1: $n$ lẻ

Khi đó $n^2+2n-1=2m$. Ta viết lại $(1)$ dưới dạng $(a^m-b)(a^m+b)=99$. Tới đây tìm được

$$(a,n)\in \{(10,1),(18,1),(50,1)\}$$

$\bullet$ TH1: $n$ chẵn

Ta sẽ chứng minh không tồn tại nghiệm trong trường hợp này. Nhận thấy $n^2+2n-1=4k+3$

  • Nếu $a$ chẵn thì $b^2\equiv 5\pmod{8}$ (vô lí)
  • Nếu $a\equiv 1\pmod{4}$ thì $b^2\equiv 2\pmod{4}$ (vô lí)
  • Nếu $a\equiv 3\pmod{4}$, ta viết lại $(1)$ dưới dạng

$$a^{4k+3}+1=b^2+10^2$$

Vì $(a^{4k+3}+1)/(a+1)\equiv 3\pmod{4}$ nên tồn tại số nguyên tố $p\equiv 3\pmod{4}$ là ước của $a^{4k+3}+1$. Suy ra $p\mid b^2+10^2$, điều này dẫn tới $p\mid 10$ (vô lí)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 22-11-2021 - 09:11

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh