Chủ đề này có 6 trả lời

[Phil John]

Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. CMR:

$$(a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1)\le 8$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 22-11-2021 - 14:28
Tiêu đề + LaTeX

[KietLW9]

Đặt 

$(x,y,z)\rightarrow (a-1,b-1,c-1)$

Giả thiết được viết lại thành: $x+y+z+2=xyz$ và ta cần chứng minh:

$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leqslant 8$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: 

$xyz=x+y+z+2\geqslant 3\sqrt[3]{xyz}+2\Rightarrow xyz\geqslant 8\Rightarrow x+y+z\geqslant 3\sqrt[3]{xyz}\geqslant 6$

$\Rightarrow xyz=x+y+z+2\leqslant \frac{4(x+y+z)}{3}\Rightarrow \frac{xyz}{x+y+z}\leqslant \frac{4}{3}\Rightarrow \frac{xyz}{x+y+z}\sqrt{\frac{27xyz}{x+y+z}}\leqslant 8$

Như vậy ta cần chứng minh: $(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leqslant\frac{xyz}{x+y+z}\sqrt{\frac{27xyz}{x+y+z}}$

$\Leftrightarrow 27x^3y^3z^3\geqslant (x+y+z)^3(x+y-z)^2(y+z-x)^2(z+x-y)^2$

Bất đẳng thức cuối là một bất đẳng thức đúng và quen thuộc nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$

 

[PDF]

Đặt 

$(x,y,z)\rightarrow (a-1,b-1,c-1)$

Giả thiết được viết lại thành: $x+y+z+2=xyz$ và ta cần chứng minh:

$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leqslant 8$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: 

$xyz=x+y+z+2\geqslant 3\sqrt[3]{xyz}+2\Rightarrow xyz\geqslant 8\Rightarrow x+y+z\geqslant 3\sqrt[3]{xyz}\geqslant 6$

$\Rightarrow xyz=x+y+z+2\leqslant \frac{4(x+y+z)}{3}\Rightarrow \frac{xyz}{x+y+z}\leqslant \frac{4}{3}\Rightarrow \frac{xyz}{x+y+z}\sqrt{\frac{27xyz}{x+y+z}}\leqslant 8$

Như vậy ta cần chứng minh: $(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leqslant\frac{xyz}{x+y+z}\sqrt{\frac{27xyz}{x+y+z}}$

$\Leftrightarrow 27x^3y^3z^3\geqslant (x+y+z)^3(x+y-z)^2(y+z-x)^2(z+x-y)^2$

Bất đẳng thức cuối là một bất đẳng thức đúng và quen thuộc nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$

Lời giải này vẫn còn thiếu sót vì khi đổi biến như vậy, ta mới chỉ có $x,y,z>-1$ chứ chưa có $x,y,z>0$ để sử dụng BĐT AM-GM

[KietLW9]

Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. CMR:

$$(a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1)\le 8$$

Cách này ổn không nhỉ? 

Đặt $(a+b-c-1,b+c-a-1,c+a-b-1)\rightarrow (2x^3,2y^3,2z^3)$ thì $a+b+c=2x^3+2y^3+2z^3+3$

Đến đây giải hệ phương trình tham số tìm ra: $\left\{\begin{matrix}c=y^3+z^3+1 & \\ a=z^3+x^3+1 & \\ b=x^3+y^3+1 & \end{matrix}\right.$

Lúc này ta có: $\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}=1$

Giả sử $xyz>1$ thì ta có: $\frac{1}{x^3+y^3+1}\leqslant \frac{1}{xy(x+y)+1}=\frac{z}{xyz(x+y)+z}<\frac{z}{x+y+z}$

Tương tự rồi cộng lại, ta có: $\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}<1$ (vô lí)

Vậy $xyz\leqslant 1\Rightarrow (a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1)\leqslant  8$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 02-12-2021 - 08:15

[KietLW9]

Lời giải này vẫn còn thiếu sót vì khi đổi biến như vậy, ta mới chỉ có $x,y,z>-1$ chứ chưa có $x,y,z>0$ để sử dụng BĐT AM-GM

Nhưng em thấy $a,b,c>1$ thì $x,y,z>0$ rồi mà anh?

[Hoang72]

Lời giải này vẫn còn thiếu sót vì khi đổi biến như vậy, ta mới chỉ có $x,y,z>-1$ chứ chưa có $x,y,z>0$ để sử dụng BĐT AM-GM

Em nghĩ $abc=ab+bc+ca>ab$ nên $c>1$.

[PDF]

Em nghĩ $abc=ab+bc+ca>ab$ nên $c>1$.

Đúng rồi. Trong lời giải của KietLW9 còn thiếu cái này. Theo anh thì đây là lỗi sai khá nguy hiểm, bạn ấy cần chú ý hơn.