Chủ đề này có 1 trả lời

[Dennis Nguyen]

Cho tam giác $ABC$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ theo thứ tự tiếp xúc $BC, CA, AB$ tại $D,E,F$. $AD$ cắt $(I)$ tại $X$; $BX,CX$ theo thứ tự cắt lại $(I)$ tại $Y, Z$; $AY, AZ$ theo thứ tự cắt $(I)$ tại $R, S$. Chứng minh $AD, ES, FR$ đồng quy.

[Hoang72]

Dễ thấy tứ giác $XEDF$ điều hoà nên tiếp tuyến tại $X$ của $(I)$, $BC$ và $EF$ đồng quy tại $G$.

Khi đó $(XD,YZ)=X(XD,YZ)=X(GD,BC)=-1$ nên tứ giác $XEDF$ điều hoà $\Rightarrow G\in EF$.

Ta cũng có: $(RS,XD)=A(RS,XD)=A(YZ,XD)=-1$ nên tứ giác $RXSD$ điều hoà $\Rightarrow G\in RS$.

$AD$ cắt $RS$ tại $T$, cắt $EF$ tại $V$..

Ta có $(GT,RS)=(GV,EF)=-1$ nên $ES,FR,TV$ đồng quy.

Vậy $AD,ES,FR$ đồng quy.