Cho biểu thức
$Q = (2x^2 - 3x + 1)^{15}$ . Tính hệ số của $x^6$ trong triển khai Q
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 24-11-2021 - 15:03
Tiêu đề + LaTeX
Cho biểu thức
$Q = (2x^2 - 3x + 1)^{15}$ . Tính hệ số của $x^6$ trong triển khai Q
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 24-11-2021 - 15:03
Tiêu đề + LaTeX
Cho biểu thức
$Q = (2x^2 - 3x + 1)^{15}$ . Tính hệ số của $x^6$ trong triển khai Q
$Q=\left ( 2x^2-3x+1 \right )^{15}=\left [ 2x^2+(1-3x) \right ]^{15}$
Mỗi số hạng tổng quát có dạng $C_{15}^k(2x^2)^{15-k}(1-3x)^k=C_{15}^k.2^{15-k}x^{30-2k}(1-3x)^k$
Mỗi số hạng đó lại có thể khai triển tiếp thành các số hạng có dạng $C_{15}^k.2^{15-k}x^{30-2k}C_k^i(-3x)^i=2^{15-k}(-3)^iC_{15}^kC_k^ix^{30-2k+i}$
+ $k=15,i=6\rightarrow$ hệ số tương ứng là $2^0(-3)^6C_{15}^{15}C_{15}^6=3648645$
+ $k=14,i=4\rightarrow$ hệ số tương ứng là $2^1(-3)^4C_{15}^{14}C_{14}^4=2432430$
+ $k=13,i=2\rightarrow$ hệ số tương ứng là $2^2(-3)^2C_{15}^{13}C_{13}^2=294840$
+ $k=12,i=0\rightarrow$ hệ số tương ứng là $2^3(-3)^0C_{15}^{12}C_{12}^0=3640$
$\Rightarrow$ hệ số cần tìm là $6379555$.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
"Đơn giản" hơn tí là phân tích biểu thức $Q$ thành $(2x-1)(x-1)$, khi đó hệ số của $x^6$ sẽ là \[\sum\limits_{k,l \ge 0:k + l = 6}^{} {{{\left( { - 1} \right)}^{15 - k}}{2^k}C_{15}^k{{\left( { - 1} \right)}^{15 - l}}C_{15}^l} = \sum\limits_{k,l \ge 0:k + l = 6}^{} {{{\left( { - 1} \right)}^{30 - k - l}}{2^k}C_{15}^kC_{15}^l} = \sum\limits_{k,l \ge 0:k + l = 6}^{} {{2^k}C_{15}^kC_{15}^l} = \sum\limits_{k = 0}^6 {{2^k}C_{15}^kC_{15}^{6 - k}} = 6379555\]
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh