Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Chứng minh công thức thể tích của hình chóp


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 26-11-2021 - 10:25

Làm thế nào để chứng minh công thức cho thể tích của một hình chóp



#2 Nobodyv3

Nobodyv3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 26-11-2021 - 20:00

Xét hình chóp bất kỳ có đường cao h, đáy có diện tích S.
Ta cắt hình chóp này qua n lớp cách đều nhau và vuông góc với đường cao thì lớp thứ k có diện tích đáy là $\left ( \frac{k}{n} \right )^{2}.S\Rightarrow  $ diện tích đáy ở mỗi lớp là : $\left ( \frac{1}{n} \right )^{2}.S, \left ( \frac{2}{n} \right )^{2}.S, .....,\left ( \frac{n}{n} \right )^{2}.S$.
Ta xem giữa 2 lớp cắt liên tiếp tạo thành  hình lăng trụ có chiều cao $\frac{h}{n}$ thì thể tích lăng trụ lớp thứ k là $\frac{h}{n}.\left ( \frac{k}{n} \right )^{2}.S$. Do đó, thể tích V của hình chóp có thể tính gần đúng :
$V=\left ( \frac{h}{n} \right ) \left ( \frac{1}{n} \right )^{2}.S+ \left ( \frac{h}{n} \right ) \left ( \frac{2}{n} \right )^{2}.S+...+\left ( \frac{h}{n} \right ) \left ( \frac{n}{n} \right )^{2}.S=\left ( \frac{h}{n^{3}} \right ).S\left ( 1^{2}+2^{2}+...+n^{2} \right )=\left ( \frac{h}{n^{3}} \right ).S.\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6}=\frac{hS}{6}\left ( 1+\frac{1}{n}\right ) \left ( 2+\frac{1}{n} \right ) $
Cho  $n\rightarrow \infty $ thì $\frac{1}{n}\rightarrow 0$, cho nên thể tích hình chóp sẽ là :
$ V=\frac{hS}{6}\left ( 1+0\right ) \left ( 2+0 \right )=\frac{hS}{3}$ $\text{    QED}$.




3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh