Làm thế nào để chứng minh công thức cho thể tích của một hình chóp
Chứng minh công thức thể tích của hình chóp
Bắt đầu bởi Serine, 26-11-2021 - 10:25
#1
Đã gửi 26-11-2021 - 10:25
#2
Đã gửi 26-11-2021 - 20:00
Xét hình chóp bất kỳ có đường cao h, đáy có diện tích S.
Ta cắt hình chóp này qua n lớp cách đều nhau và vuông góc với đường cao thì lớp thứ k có diện tích đáy là $\left ( \frac{k}{n} \right )^{2}.S\Rightarrow $ diện tích đáy ở mỗi lớp là : $\left ( \frac{1}{n} \right )^{2}.S, \left ( \frac{2}{n} \right )^{2}.S, .....,\left ( \frac{n}{n} \right )^{2}.S$.
Ta xem giữa 2 lớp cắt liên tiếp tạo thành hình lăng trụ có chiều cao $\frac{h}{n}$ thì thể tích lăng trụ lớp thứ k là $\frac{h}{n}.\left ( \frac{k}{n} \right )^{2}.S$. Do đó, thể tích V của hình chóp có thể tính gần đúng :
$V=\left ( \frac{h}{n} \right ) \left ( \frac{1}{n} \right )^{2}.S+ \left ( \frac{h}{n} \right ) \left ( \frac{2}{n} \right )^{2}.S+...+\left ( \frac{h}{n} \right ) \left ( \frac{n}{n} \right )^{2}.S=\left ( \frac{h}{n^{3}} \right ).S\left ( 1^{2}+2^{2}+...+n^{2} \right )=\left ( \frac{h}{n^{3}} \right ).S.\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6}=\frac{hS}{6}\left ( 1+\frac{1}{n}\right ) \left ( 2+\frac{1}{n} \right ) $
Cho $n\rightarrow \infty $ thì $\frac{1}{n}\rightarrow 0$, cho nên thể tích hình chóp sẽ là :
$ V=\frac{hS}{6}\left ( 1+0\right ) \left ( 2+0 \right )=\frac{hS}{3}$ $\text{ QED}$.
Ta cắt hình chóp này qua n lớp cách đều nhau và vuông góc với đường cao thì lớp thứ k có diện tích đáy là $\left ( \frac{k}{n} \right )^{2}.S\Rightarrow $ diện tích đáy ở mỗi lớp là : $\left ( \frac{1}{n} \right )^{2}.S, \left ( \frac{2}{n} \right )^{2}.S, .....,\left ( \frac{n}{n} \right )^{2}.S$.
Ta xem giữa 2 lớp cắt liên tiếp tạo thành hình lăng trụ có chiều cao $\frac{h}{n}$ thì thể tích lăng trụ lớp thứ k là $\frac{h}{n}.\left ( \frac{k}{n} \right )^{2}.S$. Do đó, thể tích V của hình chóp có thể tính gần đúng :
$V=\left ( \frac{h}{n} \right ) \left ( \frac{1}{n} \right )^{2}.S+ \left ( \frac{h}{n} \right ) \left ( \frac{2}{n} \right )^{2}.S+...+\left ( \frac{h}{n} \right ) \left ( \frac{n}{n} \right )^{2}.S=\left ( \frac{h}{n^{3}} \right ).S\left ( 1^{2}+2^{2}+...+n^{2} \right )=\left ( \frac{h}{n^{3}} \right ).S.\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6}=\frac{hS}{6}\left ( 1+\frac{1}{n}\right ) \left ( 2+\frac{1}{n} \right ) $
Cho $n\rightarrow \infty $ thì $\frac{1}{n}\rightarrow 0$, cho nên thể tích hình chóp sẽ là :
$ V=\frac{hS}{6}\left ( 1+0\right ) \left ( 2+0 \right )=\frac{hS}{3}$ $\text{ QED}$.
- DOTOANNANG và Serine thích
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#3
Đã gửi 19-12-2021 - 22:45
Em không hiểu khúc
Ta xem giữa 2 lớp cắt liên tiếp tạo thành hình lăng trụ có chiều cao $\frac{h}{n}$ thì thể tích lăng trụ lớp thứ k là $\frac{h}{n}.\left ( \frac{k}{n} \right )^{2}.S$
Anh giải thích giúp em với
#4
Đã gửi 20-12-2021 - 03:38
Em không hiểu khúc
Anh giải thích giúp em với
Tương tự với đạo hàm vậy. Khi ở trong khoảng cực kỳ nhỏ như $\delta h$ thì hình chóp cụt (phân khúc bởi hai lớp cắt) sẽ có thể tích "xấp xỉ" với hình trụ bao quanh nó.
Để chứng minh chặt chẽ thì phải sử dụng nguyên lý kẹp, cơ mà để minh họa ý tưởng thì như trên là ổn.
- Serine yêu thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!!
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh