Đến nội dung

Hình ảnh

Max $M = |ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2)| $, với $a, b, c$ là 3 số thực thỏa mãn: $a^2 + b^2 + c^2 = 12$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
tunglamlqddb

tunglamlqddb

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết

Cho $a, b, c$ là 3 số thực thỏa mãn: $a^2 + b^2 + c^2 = 12$. Tìm giá trị lớn nhất của:

$M = |ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2)| $.



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Nhận thấy $M=(a-b)(b-c)(a-c)$.

Giả sử $a=\max\{a,b,c\}$.

+) Nếu $a\geq c\geq b$ thì $M\leq 0$.

+) Nếu $a\geq b\geq c$: Áp dụng bđt AM - GM ta có $(a-b)(b-c)(a-c)\leq \frac{(a-c)^3}{4}$.

Mặt khác ta thấy $(a-c)^2\leq 2(a^2+c^2)\leq 24\Rightarrow a-c\leq 2\sqrt{6}\Rightarrow M\leq 12\sqrt{3}$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=-c=2\sqrt{3};b=0$.

So sánh hai trường hợp ta được $M_{max}=12\sqrt{3}$ khi $(a,b,c)=(2\sqrt{3},0,-2\sqrt{3})$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 26-11-2021 - 23:38


#3
tunglamlqddb

tunglamlqddb

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết

Nhận thấy $M=(a-b)(b-c)(a-c)$.

Giả sử $a=\max\{a,b,c\}$.

+) Nếu $a\geq c\geq b$ thì $M\leq 0$.

+) Nếu $a\geq b\geq c$: Áp dụng bđt AM - GM ta có $(a-b)(b-c)(a-c)\leq \frac{(a-c)^3}{4}$.

Mặt khác ta thấy $(a-c)^2\leq 2(a^2+c^2)\leq 24\Rightarrow a-c\leq 2\sqrt{6}\Rightarrow M\leq 12\sqrt{3}$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=-c=2\sqrt{3};b=0$.

So sánh hai trường hợp ta được $M_{max}=12\sqrt{3}$ khi $(a,b,c)=(2\sqrt{3},0,-2\sqrt{3})$.

Cảm ơn bạn nhưng mà M bạn phân tích thiếu (a+b+c) rồi, và nó có trị tuyệt đối nữa.



#4
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Cảm ơn bạn nhưng mà M bạn phân tích thiếu (a+b+c) rồi, và nó có trị tuyệt đối nữa.

À mình nhầm.
Nếu thế thì nó chính là bài 6 ở đây nhé bạn https://diendantoanh...-bất-đẳng-thức/






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh