Tìm giới hạn dãy số $u_{n}$ biết $u_{n}(3+u_{n-1})+1=0$ và $u_{0}=1$
Tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi $u_{n}(3+u_{n-1})+1=0$
#1
Đã gửi 28-11-2021 - 11:03
#2
Đã gửi 06-03-2023 - 21:01
Có ai có cách giải phổ thông hơn không ạ?
$-----------------------------$
Ta có $u_n(u_{n-1} + 3) + 1 = 0 \iff u_n = \dfrac{-1}{u_{n-1}+3}$
Đặt $u_n = t$. Xét hàm $f(t) = \dfrac{-1}{t+3} \to f'(t) = \dfrac{-1}{(t+3)^2}$ suy ra hàm $f$ nghịch biến trên $R$
Từ đó ta suy ra $u_n$ giảm với mọi $n \ge 1$
Dễ dàng chứng minh theo qui nạp ta được $u_n > -\dfrac{1}{2}$
Do đó $u_n$ là dãy hội tụ với mọi $n \ge 1$
Đặt $\displaystyle\lim u_n = a$ ta tìm được nghiệm thỏa là $a = \dfrac{\sqrt{5}-3}{2}$
Vậy $\displaystyle\lim u_n = \dfrac{\sqrt{5}-3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 06-03-2023 - 21:01
#3
Đã gửi 06-03-2023 - 21:18
Xét hiệu $u_n - u_{n+1} = \dfrac{u_n^2 + 3u_n + 1}{3+u_n}$ $(1)$
Bây giờ ta chứng minh rằng $u_n > \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2} (2)$ với mọi $n=0,1,2...$
Ta CM bằng qui nạp
Hiển nhiên $(2)$ đúng với $n=0$ và $n=1$
_Giả sử $(2)$ đúng đến $n=k$ tức là $u_k > \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$
Khi đó: $3 + u_k > \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2} + 3 = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$
$\rightarrow \dfrac{1}{3+u_k} < \dfrac{2}{3+\sqrt{5}} = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$
$\rightarrow u_{k+1} = -\dfrac{1}{3+u_k} > \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$
Vậy $(2)$ cũng đúng với $n=k+1$. Theo nlqn thì $(2)$ đúng với mọi $n$
Do $u_n > \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$ nên $3 + u_n > 0 \forall n=0,1,2,..$ và $u_n^2 + 3u_n + 1 > 0$
Vậy từ $(1)$ có $u_n > u_{n+1}$ với mọi $n$, nghĩa là $u_n$ có gh hữu hạn.
Đặt $\lim u_n = x$ và giải ta được $x = \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$
Vậy ..
- hxthanh yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dãy số, giới hạn, công thức truy hồi
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Chứng minh dãy hội tụ và tìm giới hạnBắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 dãy sô, giới hạn |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Dãy số - Giới hạn →
$\forall \varepsilon ,\exists N= N\left ( \varepsilon \right )\epsilon \mathbb{N}$Bắt đầu bởi Niko27, 06-12-2023 giới hạn |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
CMR hàm số f(x) đơn điệu thì có hữu hạn điểm gián đoạn.Bắt đầu bởi Explorer, 29-11-2023 giới hạn, điểm gián đoạn và . |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
Cho $f(x)=x+e^{x}$ và $g(x)=\frac{x+1}{2x-1}$. Tìm $f^{-1}(g^{-1}(g^{-1}(f(0))))$Bắt đầu bởi Explorer, 31-10-2023 dãy số, đại số, hàm ngược, hàm số |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
$\lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{1+cos(2n)}$Bắt đầu bởi Lyua My, 27-10-2023 lim, giới hạn |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh