Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm giới hạn dãy số cho bởi công thức truy hồi $u_{n}(3+u_{n-1})+1=0$

- - - - - dãy số giới hạn công thức truy hồi

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
ThichHocToancom

ThichHocToancom

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Tìm giới hạn dãy số $u_{n}$ biết $u_{n}(3+u_{n-1})+1=0$ và $u_{0}=1$



#2
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Có ai có cách giải phổ thông hơn không ạ? 

 

$-----------------------------$

Ta có $u_n(u_{n-1} + 3) + 1 = 0 \iff u_n = \dfrac{-1}{u_{n-1}+3}$

Đặt $u_n = t$. Xét hàm $f(t) = \dfrac{-1}{t+3} \to f'(t) = \dfrac{-1}{(t+3)^2}$ suy ra hàm $f$ nghịch biến trên $R$ 

Từ đó ta suy ra $u_n$ giảm với mọi $n \ge 1$

Dễ dàng chứng minh theo qui nạp ta được $u_n > -\dfrac{1}{2}$

Do đó $u_n$ là dãy hội tụ với mọi $n \ge 1$

Đặt $\displaystyle\lim u_n = a$ ta tìm được nghiệm thỏa là $a = \dfrac{\sqrt{5}-3}{2}$

Vậy $\displaystyle\lim u_n =  \dfrac{\sqrt{5}-3}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 06-03-2023 - 21:01


#3
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Xét hiệu $u_n - u_{n+1} = \dfrac{u_n^2 + 3u_n + 1}{3+u_n}$        $(1)$

Bây giờ ta chứng minh rằng $u_n > \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2} (2)$ với mọi $n=0,1,2...$

Ta CM bằng qui nạp 

Hiển nhiên $(2)$ đúng với $n=0$ và $n=1$

_Giả sử $(2)$ đúng đến $n=k$ tức là $u_k > \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$

Khi đó: $3 + u_k > \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2} + 3 = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

$\rightarrow \dfrac{1}{3+u_k} < \dfrac{2}{3+\sqrt{5}} = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$

$\rightarrow u_{k+1} = -\dfrac{1}{3+u_k} > \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$

Vậy $(2)$ cũng đúng với $n=k+1$. Theo nlqn thì $(2)$ đúng với mọi $n$

Do $u_n > \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$ nên $3 + u_n > 0 \forall n=0,1,2,..$ và $u_n^2 + 3u_n + 1 > 0$

Vậy từ $(1)$ có $u_n > u_{n+1}$ với mọi $n$, nghĩa là $u_n$ có gh hữu hạn.

Đặt $\lim u_n = x$ và giải ta được $x = \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$

Vậy ..







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dãy số, giới hạn, công thức truy hồi

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh