ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2021-2022
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 24/11/2021
Bài 1 (4,0 điểm).
a) Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức có bậc không quá $2020$ và thoả mãn $x^{2021}.P(x)+(x-2)^{2021}.Q(x)=1, \ \forall x \in \mathbb{R}$. Tính $Q(1)$.
b) Tìm tất cả bộ ba số thực dương $(x,y,z)$ thoả mãn hai điều kiện $xy+yz+zx+xyz=4$ và $\sqrt{2(4-xy)}+ \sqrt{5(4-yz)}+ \sqrt{10(4-zx)}=12$.
Bài 2 (3,0 điểm). Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_1=0, \ x_2=1$ và $x_{n+2}= \dfrac{x_n +1}{x_{n+1}+x_n+2}, \ \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Chứng minh dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn tâm $O$ và có các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $O_1$ là điểm đối xứng của $O$ qua đường thẳng $BC$. $AO_1$ cắt $BC$ tại $L$, $DE$ cắt $HC$ tại $M$, $DF$ cắt $HB$ tại $N$.
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ và đường tròn đường kính $AL$ tiếp xúc với nhau.
b) Tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn đường kính $AL$ cắt $EF$ tại $K$. Chứng minh $KH=KD$.
Bài 4 (5,0 điểm).
a) Cho hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn $f(x+y) \geq f(x)+y.f(f(x))$ với mọi số thực $x,y$. Chứng minh rằng $f(0) \leq 0$.
b) Cho các số nguyên dương $a,b,c$ phân biệt. Chứng minh tồn tại số nguyên $n$ sao cho $a+n, \ b+n, \ c+n$ là các số đôi một nguyên tố cùng nhau.
Bài 5 (3,0 điểm). Trên mặt phẳng ta vẽ 3333 đường tròn đôi một khác nhau và có bán kính bằng nhau. Chứng minh rằng luôn chọn ra được trong số đó 34 đường tròn mà các đường tròn này đôi một có điểm chung hoặc đôi một không có điểm chung.
- HẾT -
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay)
Nguồn:
1. Thầy Quang Vinh, GV Toán - THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bà Rịa - Vũng Tàu);
2. Group Hướng tới Olympic Toán VN
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangvipmessi97: 29-11-2021 - 12:29