Cho dãy số $\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3};..;\frac{1}{n}$, tiến hành xóa các số trong dãy và sau khi xóa hai số $a,b$ bất kì thì lại thêm số $a+b+ab$ vào dãy, sau một số lần như vậy thì trong dãy còn lại $1$ số. Chứng minh số đó là $n$
Chứng minh số đó là $n$
#1
Đã gửi 29-11-2021 - 17:03
#2
Đã gửi 29-11-2021 - 18:26
Có được:
$$a\ast b= a+ b+ ab= \left ( 1+ a \right )\left ( 1+ b \right )- 1\Rightarrow a\ast b\ast c\ldots\ast n= \left ( 1+ a \right )\left ( 1+ b \right )\ldots\left ( 1+ n \right )- 1$$
$$\Rightarrow\frac{1}{1}\ast\frac{1}{2}\ast\frac{1}{3}\ldots\ast\frac{1}{n}= \frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\ldots\cdot\frac{n+ 1}{n}- 1= n$$
#3
Đã gửi 29-11-2021 - 18:41
Dễ dàng nhận xét rằng cứ xóa đi hai số và thêm 1 số và chỉ còn lại 1 số trong dãy thì sẽ có $n-1$ lần xóa và thêm như thế.
Ta có: $(a+1)(b+1)=(ab+a+b)+1$
Như vậy tích thêm $(\frac{1}{1}+1)(\frac{1}{2}+1)(1+\frac{1}{3})...(1+\frac{1}{n})=n+1$ sẽ không thay đổi với mọi dãy thu được
Sau $n-1$ lần biến đổi như vậy thì dãy cuối là $s + 1$ có giá trị $n+1$ nên $s = n$ tức số cuối sẽ là n (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 29-11-2021 - 18:52
- DOTOANNANG yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh