Chủ đề này có 2 trả lời

[Mathlegend]

Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : $12x^2 + 26xy + 15xy^2 = 4617$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 01-12-2021 - 21:25
Tiêu đề + LaTeX

[Le Tuan Canhh]

Có: $12x^{2}+26xy+15y^{2}=4617 \Leftrightarrow 12x^{2}+26xy+15y^{2}=3^{5}.19$

$\Leftrightarrow 12x^{2}+26xy+15y^{2}\vdots 19 \Leftrightarrow 12x^{2}-12xy+15y^{2} \vdots 19$

$\Leftrightarrow 3(4x^{2}-4xy+5y^{2})\vdots 19\Leftrightarrow 4x^{2}-4xy+5y^{2\vdots 19}$

$\Leftrightarrow (2x-y)^{2}+(2y)^{2}\vdots 19$

Áp dụng bổ đề : Nếu số nguyên tố p có dạng : 4n+3 thì a²+b² $\vdots$p$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\vdots p & \\ b\vdots p & \end{matrix}\right.$$(a,b\in Z)$

Ta có: $\left\{\begin{matrix} 2x-y\vdots 19 & \\ 2y\vdots 19 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\vdots 19 & \\ y\vdots 19 & \ \end{matrix}\right.\Rightarrow 12x^{2}+36xy+15y^{2}\vdots 19^{2}$

Điều này không xảy ra do 4617 không chia hết cho 19² nên phương trình không có nghiệm nguyên 

[Mathlegend]

Có: $12x^{2}+26xy+15y^{2}=4617 \Leftrightarrow 12x^{2}+26xy+15y^{2}=3^{5}.19$

$\Leftrightarrow 12x^{2}+26xy+15y^{2}\vdots 19 \Leftrightarrow 12x^{2}-12xy+15y^{2} \vdots 19$

$\Leftrightarrow 3(4x^{2}-4xy+5y^{2})\vdots 19\Leftrightarrow 4x^{2}-4xy+5y^{2\vdots 19}$

$\Leftrightarrow (2x-y)^{2}+(2y)^{2}\vdots 19$

Áp dụng bổ đề : Nếu số nguyên tố p có dạng : 4n+3 thì a²+b² $\vdots$p$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\vdots p & \\ b\vdots p & \end{matrix}\right.$$(a,b\in Z)$

Ta có: $\left\{\begin{matrix} 2x-y\vdots 19 & \\ 2y\vdots 19 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\vdots 19 & \\ y\vdots 19 & \ \end{matrix}\right.\Rightarrow 12x^{2}+36xy+15y^{2}\vdots 19^{2}$

Điều này không xảy ra do 4617 không chia hết cho 19² nên phương trình không có nghiệm nguyên 

Thanks bạn nha!