CMR phần nguyên của $u=(2+\sqrt{3})^{n}$ là số tự nhiên lẻ với n nguyên dương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 05-12-2021 - 15:36
Tiêu đề + LaTeX
CMR phần nguyên của $u=(2+\sqrt{3})^{n}$ là số tự nhiên lẻ với n nguyên dương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 05-12-2021 - 15:36
Tiêu đề + LaTeX
Xét tổng $S_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$.
Khi đó $S_1=4;S_2=14$.
Ta có $S_{n+2}=4S_{n+1}-S_{n}$.
Bằng quy nạp chứng minh được $S_n$ là số nguyên dương chẵn với mọi $n\in\mathbb N^*$.
Mặt khác $0<(2-\sqrt{3})^n<1$ nên $S_n-1<(2+\sqrt{3})^n<S_n\Rightarrow [(2+\sqrt{3})^n]=S_n-1$ là số lẻ. (đpcm)
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh