Đến nội dung

Hình ảnh

CMR phần nguyên của $u=(2+\sqrt{3})^{n}$ là số tự nhiên lẻ với n nguyên dương.

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
dangthihienluong

dangthihienluong

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

CMR phần nguyên của $u=(2+\sqrt{3})^{n}$ là số tự nhiên lẻ với n nguyên dương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 05-12-2021 - 15:36
Tiêu đề + LaTeX


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Xét tổng $S_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$.

Khi đó $S_1=4;S_2=14$.

Ta có $S_{n+2}=4S_{n+1}-S_{n}$.

Bằng quy nạp chứng minh được $S_n$ là số nguyên dương chẵn với mọi $n\in\mathbb N^*$.

Mặt khác $0<(2-\sqrt{3})^n<1$ nên $S_n-1<(2+\sqrt{3})^n<S_n\Rightarrow [(2+\sqrt{3})^n]=S_n-1$ là số lẻ. (đpcm)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh