Với phương trình bậc ba x3 – 3x + 1 = 0. Dễ thấy phương trình này có 3 nghiệm thực phân biệt vì nếu đặt f(x) = x3 – 3x + 1 thì ta có f(-2) = -1 < 0; f(0) = 1 > 0 ; f(1) = -1 < 0 ; f(2) = 3 > 0 nên phương trình x3 – 3x + 1 = 0 có ba nghiệm x 1 , x 2 , x 3 với -2 < x1 < 0 < x2 < 1 < x3 < 2 ba nghiệm của nó là x1 = -2sin70o , x2 = 2sin10o , x3 = 2sin50o các bạn tự kiểm tra lại nhé! Theo công thức Cac-na-đô ta có các nghiệm dưới dạng đại số của phương trình này là:
x = $\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\sqrt{-\frac{3}{4}}}+\sqrt[3]{-\frac{1}{2}-\sqrt{-\frac{3}{4}}}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}+\sqrt[3]{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}$
Do ta không thể đưa được $\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i}$ về dạng a + bi với a,b C R để rut gọn biểu thức nghiệm. Nên ta không thể nào làm mât được đại lượng ảo trong công thức nghiệm của pt đã cho.
Tóm lại ta không có cách gì để biểu diễn được các nghiệm này dưới dạng đại số nếu chỉ dùng 6 phép toán cơ bản là cộng (+), trừ (-), nhân (x), chia ), lũy thừa (^) và khai căn (√) trên tập số thực R.