Đến nội dung

Hình ảnh

$$abc+k\bigg[\big(a-b\big)^2+\big(b-c\big)^2+\big(c-a\big)^2\bigg]+2\geq a+b+c$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Tìm số thực $k$ bé nhất sao cho với mọi bộ ba số thực không âm $a,b,c$, ta luôn có:

$$abc+k\bigg[\big(a-b\big)^2+\big(b-c\big)^2+\big(c-a\big)^2\bigg]+2\geq a+b+c$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 05-12-2021 - 10:48


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Dễ thấy $k\geq 0$ vì nếu $k<0$ thì ta chỉ cần chọn $a,b,c$ sao cho $abc+2<a+b+c$ thì ta có ngay điều vô lí.

Thay $a=0;b=c$ ta có $2kb^2+2\geq 2b,\forall b\geq 0$.

Cho $b=2$ thì $k\geq \frac{1}{4}$.

Ta sẽ chứng minh nếu $k=\frac{1}{4}$ thì bất đẳng thức đúng với mọi $a,b,c\geq 0$.

Đặt $f(a,b,c)=2abc+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+4-2(a+b+c)$.

Xét 2 trường hợp:

+) $a,b,c\geq 3$: Dễ dàng chứng minh được $abc+2\geq a+b+c$.

+) Tồn tại một số trong ba số $a,b,c$ nhỏ hơn 3: Giả sử $a\leq 3$.

Ta có $f(a,b,c)-f\left(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2}\right)=\frac{3}{2}(b-c)^2-\frac{a(b-c)^2}{2}\geq 0$.

Đặt $\frac{b+c}{2}=t$ thì ta chỉ cần chứng minh $f(a,t,t)\geq 0\Leftrightarrow t^2(2a+1)-t(a+2)+(a^2-2a+4)\geq 0$.

Xét VT là tam thức bậc hai đối với $t$. Ta có $\Delta' =-2a(a-1)^2\leq 0,\forall a\geq 0\Rightarrow t^2(2a+1)-2t(a+2)+(a^2-2a+4)\geq 0,\forall a,t\geq 0$.

Từ đó $f(a,b,c)\geq f(a,t,t)\geq 0$ nên bất đẳng thức đúng với $k=\frac{1}{4}$.

Vậy $k_{min}=\frac{1}{4}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 05-12-2021 - 16:27


#3
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Dễ thấy $k\geq 0$ vì nếu $k<0$ thì ta chỉ cần chọn $a,b,c$ sao cho $abc+2<a+b+c$ thì ta có ngay điều vô lí.

Thay $a=0;b=c$ ta có $2kb^2+2\geq 2b,\forall b\geq 0$.

Cho $b=2$ thì $k\geq \frac{1}{4}$.

Ta sẽ chứng minh nếu $k=\frac{1}{4}$ thì bất đẳng thức đúng với mọi $a,b,c\geq 0$.

Đặt $f(a,b,c)=2abc+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+4-2(a+b+c)$.

Xét 2 trường hợp:

+) $a,b,c\geq 3$: Dễ dàng chứng minh được $abc+2\geq a+b+c$.

+) Tồn tại một số trong ba số $a,b,c$ nhỏ hơn 3: Giả sử $a\leq 3$.

Ta có $f(a,b,c)-f\left(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2}\right)=\frac{3}{2}(b-c)^2-\frac{a(b-c)^2}{2}\geq 0$.

Đặt $\frac{b+c}{2}=t$ thì ta chỉ cần chứng minh $f(a,t,t)\geq 0\Leftrightarrow t^2(2a+1)-t(a+2)+(a^2-2a+4)\geq 0$.

Xét VT là tam thức bậc hai đối với $t$. Ta có $\Delta' =-2a(a-1)^2\leq 0,\forall a\geq 0\Rightarrow t^2(2a+1)-2t(a+2)+(a^2-2a+4)\geq 0,\forall a,t\geq 0$.

Từ đó $f(a,b,c)\geq f(a,t,t)\geq 0$ nên bất đẳng thức đúng với $k=\frac{1}{4}$.

Vậy $k_{min}=\frac{1}{4}$.

Nếu mình nhìn không nhầm thì hình như bạn chưa chứng minh giá trị $k=\frac{1}{4}$ đó là nhỏ nhất đúng ko?



#4
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Nếu mình nhìn không nhầm thì hình như bạn chưa chứng minh giá trị $k=\frac{1}{4}$ đó là nhỏ nhất đúng ko?

Hình như mình chứng minh $k\geq \frac{1}{4}$ rồi bạn (Thay $a=0;b=c=2$)



#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Có thể mở rộng ra không nhỉ?

Tìm $k,l$ nhỏ nhất để bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi $n$ số thực không âm $a_1, a_2, \ldots, a_n$:

\[\prod\limits_{i = 1}^n {{a_i}}  + k\sum\limits_{1 \le i < j \le n}^{} {{{\left( {{a_i} - {a_j}} \right)}^2}}  + l \ge \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \]


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh