Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3(x^2+y^2+z^2)=1 & \\ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=xyz(x+y+z)^3 & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 3(x^2+y^2+z^2)=1 & \\ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=xyz(x+y+z)^3 & \end{matrix}\right.$
#1
Đã gửi 07-12-2021 - 19:08
#2
Đã gửi 07-12-2021 - 21:35
Xét x = 0 thì ta có hệ $\left\{\begin{matrix}y^2+z^2=\frac{1}{3} & \\ y^2z^2=0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow ...$ (Bạn tự giải, tương tự với y,z ta có các bộ hoán vị)
Xét $x+y+z=0$ thì có 2 trong 3 số $x,y,z$ bằng 0 ta tìm được số còn lại
Xét $x+y+z$ khác 0 và $x,y,z$ khác 0
$\Rightarrow (x+y+z)^2=\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz(x+y+z)}\geqslant \frac{xyz(x+y+z)}{xyz(x+y+z)}=1=3(x^2+y^2+z^2)$
Dấu bằng xảy ra khi $(x,y,z)=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ hoặc $(x,y,z)=(\frac{-1}{3},\frac{-1}{3},\frac{-1}{3})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 07-12-2021 - 21:37
- Hoang72 yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#3
Đã gửi 07-12-2021 - 21:40
Xét x = 0 thì ta có hệ $\left\{\begin{matrix}y^2+z^2=\frac{1}{3} & \\ y^2z^2=0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow ...$ (Bạn tự giải, tương tự với y,z ta có các bộ hoán vị)
Xét $x+y+z=0$ thì có 2 trong 3 số $x,y,z$ bằng 0 ta tìm được số còn lại
Xét $x+y+z$ khác 0 và $x,y,z$ khác 0
$\Rightarrow (x+y+z)^2=\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz(x+y+z)}\geqslant \frac{xyz(x+y+z)}{xyz(x+y+z)}=1=3(x^2+y^2+z^2)$
Dấu bằng xảy ra khi $(x,y,z)=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ hoặc $(x,y,z)=(\frac{-1}{3},\frac{-1}{3},\frac{-1}{3})$
Theo mình biết thì dạng hệ phương trình ba biến $x,y,z$ xử lý bằng bất đẳng thức như này xuất hiện khá nhiều. Bạn có tổng hợp lại vài bài nào không cho mình xin với!
#4
Đã gửi 07-12-2021 - 22:07
Mình thì chưa thấy tài liệu nào kiểu như này, vì HPT ba biến thường sử dụng BĐT nhưng là BĐT dễ và cơ bản nên cũng ít gặp lắm bạn!
- Hoang72 yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh