Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix} 3(x^2+y^2+z^2)=1 & \\ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=xyz(x+y+z)^3 & \end{matrix}\right.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Dennis Nguyen

Dennis Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3(x^2+y^2+z^2)=1 & \\ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=xyz(x+y+z)^3 & \end{matrix}\right.$



#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Xét x = 0 thì ta có hệ $\left\{\begin{matrix}y^2+z^2=\frac{1}{3} & \\ y^2z^2=0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow ...$ (Bạn tự giải, tương tự với y,z ta có các bộ hoán vị)

Xét $x+y+z=0$ thì có 2 trong 3 số $x,y,z$ bằng 0 ta tìm được số còn lại

Xét $x+y+z$ khác 0 và $x,y,z$ khác 0 

$\Rightarrow (x+y+z)^2=\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz(x+y+z)}\geqslant \frac{xyz(x+y+z)}{xyz(x+y+z)}=1=3(x^2+y^2+z^2)$

Dấu bằng xảy ra khi $(x,y,z)=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ hoặc $(x,y,z)=(\frac{-1}{3},\frac{-1}{3},\frac{-1}{3})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 07-12-2021 - 21:37

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#3
Dennis Nguyen

Dennis Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Xét x = 0 thì ta có hệ $\left\{\begin{matrix}y^2+z^2=\frac{1}{3} & \\ y^2z^2=0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow ...$ (Bạn tự giải, tương tự với y,z ta có các bộ hoán vị)

Xét $x+y+z=0$ thì có 2 trong 3 số $x,y,z$ bằng 0 ta tìm được số còn lại

Xét $x+y+z$ khác 0 và $x,y,z$ khác 0 

$\Rightarrow (x+y+z)^2=\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz(x+y+z)}\geqslant \frac{xyz(x+y+z)}{xyz(x+y+z)}=1=3(x^2+y^2+z^2)$

Dấu bằng xảy ra khi $(x,y,z)=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ hoặc $(x,y,z)=(\frac{-1}{3},\frac{-1}{3},\frac{-1}{3})$

Theo mình biết thì dạng hệ phương trình ba biến $x,y,z$ xử lý bằng bất đẳng thức như này xuất hiện khá nhiều. Bạn có tổng hợp lại vài bài nào không cho mình xin với!



#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Mình thì chưa thấy tài liệu nào kiểu như này, vì HPT ba biến thường sử dụng BĐT nhưng là BĐT dễ và cơ bản nên cũng ít gặp lắm bạn!


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh