Chủ đề này có 1 trả lời

[Dennis Nguyen]

Tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$  có $AD,BE,CF$  là các đường cao với trực tâm $H$ và $M$  là trung điểm $BC$  . Gọi  $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AM$  . Giả sử đường thẳng $EK$  cắt các đường thẳng $AB,BC$   lần lượt tại $P,X$; đường thẳng $FK$ cắt các đường thẳng $AC,BC$  lần lượt tại $Q,Y$ .

 1) Chứng minh rằng $P,M,Q$   thẳng hàng.

 2) Các đường thẳng  $AX,AY$ cắt $O$  tại điểm thứ hai là $R,S$ . Tiếp tuyến của $(O)$ tại $C,R$  cắt nhau ở $G$ và tiếp tuyến tại $B,S$  cắt nhau ở $T$. Chứng minh $TG,AM$  cắt nhau tại một điểm trên $(O)$.

[pntoi oni10420]

a) Dễ thấy $ME$, $MF$ là tiếp tuyến của $(AH)$
Áp dụng định lí $Pascal$ vào tứ giác $AEKF$: $\begin{pmatrix} A &E & F \\ K & F& E &\end{pmatrix}$ $\Rightarrow \overline{P,M,Q}$
b) $EF$ cắt $BC$ tại $J$, $HM$ cắt $(O)$ tại $L$. Dễ thấy $AL$, $EF$, $HK$, $BC$ đồng quy tại $J$
Gọi $I$ là giao của $CK$ và $(AH)$, ta có $MC^2=MH.ML=MK.MA\Rightarrow \widehat{MCK}=\widehat{MAE}=\widehat{KIE}\Rightarrow IE//BC$ hay $IE\perp AH$. 
$AM$ cắt $(O)$ tại $N$, khi đó $(LN , RC)$ $=$ $A(LN , RC)$ $=$ $(JM, XC)$ $=$ $K(JM , XC)$ $=$ $(HA , EI)$ $=$ -1
Hay $LRNC$ điều hòa, khi đó $LN$ đi qua $G$, cm tương tự thì $LN$ cũng đi qua $T$. Đpcm