Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\widehat{AHE}=\widehat{CHF}$.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Dennis Nguyen

Dennis Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(O)$. $AC$ cắt $(O)$ tại $E,F$. $H$ là hình chiếu của $O$ lên $BD$. Chứng minh $\widehat{AHE}=\widehat{CHF}$.



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Theo định lý Pascal, ta có kết quả quen thuộc: $XZ,YT,AC,BD$ đồng quy tại $G$; $XY,ZT,AC$ đồng quy tại $I$.

Dễ thấy 5 điểm $O,H,X,Y,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính OB và năm điểm $O,H,Z,T,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính OD.

Do đó I là tâm đẳng phương của ba đường tròn $(O),(OB),(OD)$. 

Suy ra $IH.IO=IE.IF$ nên $E,O,H,F$ đồng viên. Mà $OE=OF$ nên $HO$ là phân giác ngoài của $\angle EHF$. Suy ra HG là phân giác của $\angle EHF$. (1)

$XC$ cắt lại $(O)$ tại $J$.

Khi đó tứ giác XYJZ điều hòa nên $(GI,AC)=X(GI,AC)=X(ZY,XJ)=-1$.

Mà $\angle GHI=90^\circ$ nên theo định lý về chùm phân giác ta có $HG$ là phân giác của $\angle AHC$. (2)

Từ (1), (2) ta có đpcm.

Hình gửi kèm

  • newww.png





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh