Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(O)$. $AC$ cắt $(O)$ tại $E,F$. $H$ là hình chiếu của $O$ lên $BD$. Chứng minh $\widehat{AHE}=\widehat{CHF}$.
Chứng minh $\widehat{AHE}=\widehat{CHF}$.
#2
Đã gửi 08-12-2021 - 16:00
Theo định lý Pascal, ta có kết quả quen thuộc: $XZ,YT,AC,BD$ đồng quy tại $G$; $XY,ZT,AC$ đồng quy tại $I$.
Dễ thấy 5 điểm $O,H,X,Y,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính OB và năm điểm $O,H,Z,T,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính OD.
Do đó I là tâm đẳng phương của ba đường tròn $(O),(OB),(OD)$.
Suy ra $IH.IO=IE.IF$ nên $E,O,H,F$ đồng viên. Mà $OE=OF$ nên $HO$ là phân giác ngoài của $\angle EHF$. Suy ra HG là phân giác của $\angle EHF$. (1)
$XC$ cắt lại $(O)$ tại $J$.
Khi đó tứ giác XYJZ điều hòa nên $(GI,AC)=X(GI,AC)=X(ZY,XJ)=-1$.
Mà $\angle GHI=90^\circ$ nên theo định lý về chùm phân giác ta có $HG$ là phân giác của $\angle AHC$. (2)
Từ (1), (2) ta có đpcm.
- KietLW9 yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh