Đến nội dung

Hình ảnh

$X, Y, Z$ thẳng hàng

- - - - - hình học liên hợp đẳng giác

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Gia Cat Minh

Gia Cat Minh

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Cho tam giác $ABC$. $P$ bất kì thuộc mặt phẳng. Lấy $A', B', C'$ là điểm đối xứng của $A, B, C$ qua $P$. $X, Y, Z$ là điểm liên hợp đẳng giác của $A', B', C'$. Chứng minh rằng $X, Y, Z$ thẳng hàng (tạm gọi là đường $c$)

Nếu $P$ trùng với tâm nội của $ABC$ thì $OP$ vuông góc với $c$



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

$X,Y,Z$ thẳng hàng khi và chỉ khi $A(XY,ZB)=B(XY,ZA)$.

Xét phép đối xứng qua phân giác góc $BAC$ ta có $A(XY,ZB)=A(A'B',C'C)$.

Xét phép đối xứng qua phân giác góc $ABC$ ta có $B(XY,ZA)=B(A'B',C'C)$.

$A'B,AB'$ cắt $CC'$ lần lượt tại $D,E$. Khi đó $A(A'B',C'C)=(DP,C'C); B(A'B',C'C)=(PE,C'C)$.

Mặt khác $P$ là trung điểm của $CC'$ và $DE$ nên $(DP,C'C)=(PE,C'C)$.

Từ đó $X,Y,Z$ thẳng hàng.



#3
Gia Cat Minh

Gia Cat Minh

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

$X,Y,Z$ thẳng hàng khi và chỉ khi $A(XY,ZB)=B(XY,ZA)$.

Xét phép đối xứng qua phân giác góc $BAC$ ta có $A(XY,ZB)=A(A'B',C'C)$.

Xét phép đối xứng qua phân giác góc $ABC$ ta có $B(XY,ZA)=B(A'B',C'C)$.

$A'B,AB'$ cắt $CC'$ lần lượt tại $D,E$. Khi đó $A(A'B',C'C)=(DP,C'C); B(A'B',C'C)=(PE,C'C)$.

Mặt khác $P$ là trung điểm của $CC'$ và $DE$ nên $(DP,C'C)=(PE,C'C)$.

Từ đó $X,Y,Z$ thẳng hàng.

Làm ý b luôn e :))

Mà $A(A'B',C'C)=(DP,C'C); B(A'B',C'C)=(PE,C'C)$. chỗ này có chút nhầm lẫn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gia Cat Minh: 10-12-2021 - 00:45


#4
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Ý kia thì chỉ mới nghĩ ra biến đổi tỉ số.

$AP$ cắt $BC$ tại $F$ và cắt lại $(O)$ tại $E$.

Ta có $\frac{XP}{XA}.\frac{XP}{XE}=\frac{[XBP]}{[XBA]}.\frac{[XBP]}{[XBE]}=\frac{BP}{BA}.\frac{sinXBP}{sinXBA}.\frac{BP}{BE}.\frac{sinXBP}{sinXBE}=\frac{BP^2}{BA.BE}.\frac{sinXBP}{sinXBA}.\frac{sinXBP}{sinXBE}=\frac{BP^2}{BA.BE}.\frac{sinA'BP}{sinA'BF}.\frac{sinA'BP}{sinBA'A}=\frac{BP^2}{BA.BE}.\frac{BF}{BP}.\frac{PA'}{A'F}.\frac{A'P}{BP}=\frac{PA^2.BF}{A'F.BA.BE}=\frac{BF}{BA}.\frac{PA^2}{A'F.BE}=\frac{PF}{PA}.\frac{PA^2}{A'F.BE}=\frac{PA.PF}{A'F.BE}=\frac{PF}{A'F}.\frac{PA}{PE}$.

Mặt khác $\frac{PA'}{PF}=\frac{PA}{PF}=\frac{BA}{BF}=\frac{EA}{EB}=\frac{EA}{EP}\Rightarrow \frac{FP}{FA'}=\frac{PE}{PA}$.

Do đó $XP^2=XA.XE$ nên $X$ nằm trên trục đẳng phương của $(O)$ và đường tròn điểm $P$.

Tương tự $Y,Z$ nằm trên trục đẳng phương của $(O)$ và $P$.

Vậy $X,Y,Z$ thẳng hàng.

Hình gửi kèm

  • Untitled1.png






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học, liên hợp đẳng giác

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh