Chủ đề này có 2 trả lời

[nhatvinh2018]

hay

Hình gửi kèm

• 
• 

[Nobodyv3]

Bài 2:
Xét hàm sinh:$G\left ( x \right)=\left (x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6} \right )^{n}$, ta thấy $\left |A_{n} \right |$ chính là tổng các hệ số của các số hạng trong khai triển $G\left ( x \right )$,mà các số hạng này có số mũ chia hết cho 3.
Gọi $\omega$ là căn bậc 3 nguyên thủy của đơn vị thì ta có $ 1+\omega +\omega^{2}=0$ và :
$ \left |A_{n} \right |=\frac{G\left ( 1 \right )+G\left ( \omega \right )+G\left ( \omega^{2} \right )}{3}=\frac{ 4^{n}+ \left ( 1+\omega+\omega^{2}+1\right )^n +\left ( 1+\omega^{2}+\omega+1\right )^n }{3}=\frac{4^{n}+2}{3}$
Vậy $\boxed {u_{n}=\frac{4^{n}+2}{3}}$
***********
Mình xin trao đổi tiếp :
1/ Để đơn giản hơn một chút, ta xét các phần tử của X theo modulo 3. Như vậy ta có hàm sinh :
$G\left ( x \right )=\left (2+ x+x^{2}\right )^{n}$
Vậy ta được :
$ \left |A_{n} \right |=\frac{G\left ( 1 \right )+G\left ( \omega \right )+G\left ( \omega^{2} \right )}{3}=\frac{ \left ( 2+1+1 \right )^{n}+ \left ( 2+\omega+\omega^{2}\right )^n  +\left (  2+\omega^{2}+\omega \right )^n  }{3}=\frac{4^{n}+2}{3}$

2/ Có bạn gửi cho mình lời giải như sau :
Gọi $A_{n},B_{n},C_{n}$ lần lượt  là các tập số tự nhiên có n chữ số lập từ X, có tổng chữ số chia cho 3 dư 0, dư 1, dư 2. Như vậy, dễ thấy rằng :
$\left |A_{n+1}  \right |=2\left | A_{n} \right | +   \left |B_{n}  \right |+ \left |C_{n}  \right | $
$\left |B_{n+1}  \right |=  \left |A_{n}  \right |+2\left | B_{n} \right |$
$\left |C_{n+1}  \right |= \left |A_{n}  \right | +2\left | C_{n} \right |$
Vế cộng vế:
$\left |A_{n+1}  \right |+
\left |B_{n+1}  \right |+\left |C_{n+1}  \right | =\left | A_{n} \right |+3\left ( \left |A_{n}  \right |+
\left |B_{n}  \right |+\left |C_{n}  \right | \right )$
$\Leftrightarrow 4^{n+1}=\left | A_{n} \right |+3.4^{n}\Leftrightarrow \left | A_{n} \right |=4^{n}$
Do đó $u_{n}=4^{n}$
Biết rằng đây là lời giải sai, nhưng không biết sai ở đâu nên nhờ các bạn chỉ ra chỗ sai của lời giải này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 18-12-2021 - 10:09

[nhatvinh2018]