Chứng minh hoặc bác bỏ mệnh đề sau:
Nếu $a$ là một số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố, $(a,p)=1$. Gọi $t$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $a^t\equiv -1(mod p)$. Chứng minh rằng $\text{ord}_p(a)=2t$.
Nếu mệnh đề sai, hỏi có thể chỉnh sửa giả thiết để mệnh đề đúng hay không?
Đầu tiên, ta nhận thấy rằng nếu $a=1$, $p=2$ thì $(a,p)=1$. Gọi $t$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $1^t\equiv -1(mod\ 2)$, khi đó $t=1$. Nhưng ta lại có $\text{ord}_2(1)=1$ (mệnh đề sai khi $a=1$ và $p=2$)
Để cứu vãn tính đúng đắn của mệnh đề, trước tiên cần giả thiết thêm $a$ là số nguyên dương khác $1$.
Tiếp theo, để ý rằng với $a$ nguyên dương khác $1$, $p$ là số nguyên tố và $(a,p)=1$ thì phương trình đồng dư $a^t\equiv -1(mod\ p)$ không phải lúc nào cũng có nghiệm nguyên, tức là không phải lúc nào cũng tồn tại số $t$. Nếu số $t$ không tồn tại thì làm sao có thể có $\text{ord}_p(a)=2t$.
Vậy cần phải chỉnh sửa lại mệnh đề như sau :
Giả sử $a$ là số nguyên dương khác $1$ và $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $(a,p)=1$ và giả sử phương trình đồng dư $a^t\equiv -1(mod\ p)$ có nghiệm nguyên dương, với $t$ là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất THÌ $\text{ord}_p(a)=2t$.