Chủ đề này có 1 trả lời

[tuanh8623]

GIÚP MÌNH BÀI 8B-9-10 NÈ Ạ. EM CẢM ƠN

Hình gửi kèm

• 

[Arthur Pendragon]

Câu 10:  Ta có $(A-I)X=-B$. Cần chứng minh $A-I$ khả nghịch, hay $\det (A-I) \neq 0$, tức chứng minh $1$ không là giá trị riêng của $A$. 

Phản chứng, giả sử $\lambda =1$ là một giá trị riêng của $A$, khi đó tồn tại vector cột $x=\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & ... & x_n\end{bmatrix}^T$ thỏa mãn $Ax=x$. Giả sử $\vert x_i\vert=\max \{\vert x_1\vert;\vert x_2\vert;...;\vert x_n\vert\}$. Chọn vector $x$ sao cho $\vert x_i \vert \geq 1$ và $\vert x_j\vert \leq 1$ với mọi $j \neq i$. Ta có: 

$\vert x_i \vert = \vert \sum_{j=1}^{2021} a_{ij}x_j\vert \leq \sum_{j=1}^{2021}\vert a_{ij}x_j \vert =\vert a_{ii} x_i \vert + \sum_{j=1,j \neq i}^{2021}\vert a_{ij}x_i \vert \leq \vert a_{ij} x_i\vert +\sum_{j=1,j \neq i}^{2021} \vert a_{ij} \vert < \vert a_{ii}x_i\vert + 1-\vert a_{ii}\vert$

Từ đó suy ra $1-\vert a_{ii} \vert > \vert x_i \vert (1-\vert a_{ii}\vert ) \geq 1-\vert a_{ii}\vert$, vô lý. 

Do đó $A-I$ chéo hóa được, và do đó $X=(A-I)^{-1}(-B)$, và do đó $X$ là duy nhất. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 26-12-2021 - 15:50