Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $(DMN)$ tiếp xúc $(DJK)$

- - - - - ngau hung

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
pntoi oni10420

pntoi oni10420

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 26 Bài viết

Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$, $D$ là một điểm bất kì nằm trong $\Delta ABC$ và thuộc đường phân giác $\widehat{BAC}$. $BD$, $CD$ cắt $AC$, $AB$ tại $E$, $F$. $EF$ cắt $(O)$ tại $M$, $N$. $ED$, $FD$ cắt $(O)$ tại $J$, $K$. Chứng minh $(DMN)$ tiếp xúc $(DJK)$.
 



#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Giả sử $AB<AC$

Kẻ phân giác ngoài tại đỉnh $A$ của $\Delta ABC$ cắt $BC$ tại $I$

Qua $D$ kẻ tiếp tuyến với $(DKJ)$ cắt $AC,NI,AI$ tại $G,H,S$. Gọi $V,P$ là giao điểm của $AD$ với $MN,BC$

Khi đó ta có: $\angle JDG=\angle JKD=\angle JBC\Rightarrow DG//BC$

Có: $\frac{EA}{EC}.\frac{PC}{PB}.\frac{FB}{FA}=\frac{EA}{EC}.\frac{IC}{IB}.\frac{FB}{FA}=1\Rightarrow \overline{I,M,N}$ (Theo tính chất đường phân giác ngoài, định lý Ceva và định lý Menelaus đảo)

Áp dụng Menelaus ta có các tỉ số:

$1=\frac{FB}{FA}.\frac{CA}{CE}.\frac{DE}{DB}$

$\frac{VA}{VD}=\frac{FA}{FB}.\frac{EB}{ED}$

$\frac{PD}{PA}=\frac{CE}{CA}.\frac{BD}{BE}$

Nhân từng vế ba tỉ số trên, ta được: $\frac{VA}{VD}=\frac{PA}{PD}$

$\Rightarrow \frac{VA}{VD}=\frac{IS}{IA}$

Từ tỉ số trên và áp dụng Menelaus cho tam giác $ADS$ với $V,H,I$ thẳng hàng suy ra được $SH=DH$

$\Rightarrow HS=HD=HA\Rightarrow \angle HAB=\angle HAD-\angle BAP=\angle ADH-\angle PAC=\angle AGH=\angle ACB$

Suy ra $HA$ là tiếp tuyến của $(O)$ 

$\Rightarrow HA^2=HD^2=HM.HN$ suy ra $HD$ là tiếp tuyến của $(DMN)$

Vậy $(DMN)$ tiếp xúc $(DJK)$

Chú ý

Hình gửi kèm

  • 260880233_1243071879509192_6020708366921402209_n.jpg

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#3
Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

Đúng phong cách của Hoang72, tỉ số từa lưa hột dưa :v

Giờ có hỏi sao Hoàng nhìn ra mấy tỉ số đó chắc chỉ có làm riết quen thôi nhỉ



#4
youknower

youknower

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Mở rộng 1 tí:
Bài này có đúng với D bất kì thuộc phân giác trong/ngoài của góc A ?
Nếu như thay yếu tố "đường phân giác" bằng " 2 đường đẳng giác" thì nên xây dựng và phát biểu thế nào cho gọn đẹp :D






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh