Chủ đề này có 3 trả lời

[lethanhson2703]

Cho đoạn thẳng $AB$. Gọi $O$  là trung điểm của $AB$. Cho $OA=a$.

Biết quỹ tích các điểm $M$ thỏa mãn $MA^2+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MO}=2a^2$ là một đường tròn. 

Tìm bán kính của đường tròn đó.

[Hoang72]

Gọi $C$ là trung điểm của $OB$.

Ta có: $MA^2+MC^2=MA^2+\left [ \frac{1}{2}(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MB}) \right ]^2=MA^2+\frac{1}{4}(\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{MB})^2+\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{MB}=MA^2+\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{MB}+\frac{1}{4}BO^2=2a^2+\frac{1}{4}a^2=\frac{9}{4}a^2=AC^2$

Do đó $\angle AMC=90^\circ$. Suy ra $M$ thuộc đường tròn đường kính $AC$ và bán kính đường tròn này là $\frac{3}{4}a$.

Hình gửi kèm

• 

[lethanhson2703]

Dạ bác cho em hỏi có cách nào để tư duy ra điểm C. hay phần này có một dạng riêng nào không ạ?
Nếu như đề thay thày $4a^2$ thì phải thay đổi cách làm như thế nào ạ? Hoặc một cách tổng quát hơn $n.a^2$
Mình có thử việc coi như $a=1$ rồi tham số hoá toạ độ, nhưng kết quả lại không được khả thi lắm
thank bác

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethanhson2703: 20-12-2021 - 23:29

[Hoang72]

Lúc đầu mình biến đổi như thế này:

$2a^2=MA^2+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MO}=MA^2+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}.(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})=\frac{2MA^2+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+MB^2}{2}=\frac{7MA^2+9MD^2}{8}\Rightarrow 7MA^2+9MD^2=16a^2=9AD^2$. (với $D$ thuộc $AB$ sao cho $\frac{\overline{DA}}{\overline{DB}}=-2$)

Vì nếu điểm $M$ nào đó thoả mãn thì điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $AB$ cũng thoả mãn đẳng thức trên nên đường tròn chứa các điểm $M$ thoả mãn là đường tròn có đường kính cố định nằm trên đường thẳng $AB$.

Từ đó tìm được hai điểm $M$ thuộc $AB$ thoả mãn là điểm $A$ và trung điểm của $OB$.

Việc còn lại thì đơn giản hơn như lời giải trên.

P/s: Hy vọng sẽ có 1 lời giải tự nhiên và ngắn gọn hơn :Đ

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 21-12-2021 - 11:50