Cho $\mathcal{J}$ là họ (family) các gian (intervals) trong $\mathbb{R}$ bao gồm tập rỗng và tất cả tập con dạng $\left ( a, b \right ), \left ( a, b \right ], \left [ a, b \right ), \left [ a, b \right ]$.
Định nghĩa $\mathcal{A}$ là collection của các tập có dạng $\bigcup_{i= 1}^{n}I_{i}$, cũng biết $\left\{ I_{1}, I_{2}\ldots, I_{n} \right\}\subseteq\mathcal{J}$ (cùng với rỗng).
Chứng minh $\mathcal{A}$ là một ($\sigma$-)đại số các tập con của $\mathbb{R}$.
Theo tiên đề là họ các gian của $\mathcal{J}$ phải được đóng bởi phép lấy phần bù ($\mathtt{C}$—complement). Bây giờ làm sao đó để có $\left ( a, \infty \right )\in\mathcal{A}$. Để ý $\left [ a, \infty \right )= \bigcap_{n= 1}^{\infty}\left ( a- 1/n, \infty \right )\Rightarrow\left [ a, \infty \right )\in\mathcal{A}$. Phần bù của $\left [ a, \infty \right )$ là $\left ( -\infty, b \right ]\in\mathcal{A}$. Phần bù của $\left [ a, \infty \right )\in\mathcal{A}$ là $\left ( -\infty, b \right )\in\mathcal{B}$. Sử dụng tính đối ngẫu, có được định thức $\left ( A\cap B \right )^{\mathtt{C}}= A^{\mathtt{C}}\cup B^{\mathtt{C}}$ (nghĩa là hoán đổi vai trò giữa $\cap$ và $\cup$, $\left ( \quad \right )^{\mathtt{C}}$ với ${\left ( \quad \right )^{\mathtt{C}}}^{\mathtt{C}}= \left ( \quad \right )$ vẫn giữ nguyên tính đúng đắn), nên ta suy ra
- $\left ( a, b \right )= \mathbb{R}\setminus\left ( \left ( -\infty, a \right ]\cup\left [ b, \infty \right ) \right )\in\mathcal{A}$
- $\left [ a, b \right )= \mathbb{R}\setminus\left ( \left ( -\infty, a \right )\cup\left [ b, \infty \right ) \right )\in\mathcal{A}$
- $\left ( a, b \right ]= \mathbb{R}\setminus\left ( \left ( -\infty, a \right ]\cup\left ( b, \infty \right ) \right )\in\mathcal{A}$
- $\left [ a, b \right ]= \mathbb{R}\setminus\left ( \left ( -\infty, a \right )\cup\left ( b, \infty \right ) \right )\in\mathcal{A}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 03-11-2023 - 18:05
