Đến nội dung


Hình ảnh

[TOPIC] HÌNH HỌC


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 45 trả lời

#1 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1463 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-12-2021 - 11:41

Chào các bạn! Hôm nay mình sẽ lập ra một topic hình học, cũng không hẳn là topic, đây đơn giản chỉ là những bài hình mình đã làm và cảm thấy hay nên đăng lên cho các bạn thảo luận. Nếu bạn nào thấy hay và thú vị thì gửi lời giải lên để các bạn cùng tham khảo nhé, còn nếu dễ quá thì các bạn nói hướng cũng được để topic được sôi nổi nhé. Nếu không ai trả lời thì mình sẽ đăng giải. Coi như đây là một trang tổng hợp các bài hình. Tất nhiên trong đây vẫn có một số bài mình đã không có lời giải từ lâu đăng lên cho các bạn suy nghĩ!  :D Mình thì không giỏi hình lắm nên có gì các bạn góp ý nhé!

Mở hàng nha  :icon6:

Bài 1: Cho $\Delta ABC$ nhọn ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. $X$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$, $Y$ là một điểm di động trên $AX$. Đường tròn tâm $Z$ đường kính $AY$ cắt $AC,AB$ tại $I,J$. Đường tròn $(AIJ)$ cắt $(O)$ tại $L$. $K$ là giao điểm của $BI$ và $CJ$. Chứng minh $L,Y,K$ thẳng hàng

Hình gửi kèm

  • Screenshot (268).png

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#2 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 30-12-2021 - 17:40

Bài 1: Cho $\Delta ABC$ nhọn ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. $X$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$, $Y$ là một điểm di động trên $AX$. Đường tròn tâm $Z$ đường kính $AY$ cắt $AC,AB$ tại $I,J$. Đường tròn $(AIJ)$ cắt $(O)$ tại $L$. $K$ là giao điểm của $BI$ và $CJ$. Chứng minh $L,Y,K$ thẳng hàng

Bổ đề: Cho ba đường tròn $(O_1),(O_2),(O_3)$ đôi một cắt nhau. Gọi $(O_1)\cap (O_2)=\{A,B\};(O_2)\cap (O_3)=\{C,D\};(O_3)\cap (O_1)=\{E,F\}$. Khi đó $AB,CD,EF$ đồng quy hoặc đôi một song song.

Chứng minh: Nếu $AB\parallel CD$ thì do $O_1O2\perp AB$ và $O_2O_3\perp CD$ nên $O_1,O_2,O_3$ thẳng hàng. Suy ra $AB\parallel CD\parallel EF$.

Nếu $AB$ cắt $CD$ tại M thì gọi $ME$ cắt $(O_3)$ lại tại $F'$. Ta có $ME.MF'=MC.MD$ và $MC.MD=MA.MB$ nên $ME.MF'=MA.MB$ suy ra $F'$ thuộc đường tròn $(O_1)$ nên $F'$ là giao điểm khác $E$ của $(O_1)$ và $(O_3)$. Từ đó $F'\equiv F$ hay $AB,CD,EF$ đồng quy.

Quay trở lại bài toán:

new.png

Do $\angle BJY=\angle BXY=90^\circ$ nên tứ giác $BJYX$ nội tiếp. Tương tự tứ giác $CIYX$ nội tiếp $\Rightarrow AJ.AB=AY.AX=AI.AC$ nên tứ giác $BJIC$ nội tiếp. Gọi $T$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác này

Xét ba đường tròn $(AIJ),(T),(O)$ thì theo bổ đề, ta có $AL,IJ,BC$ đồng quy tại $E$.

Gọi $F$ là giao của $(KIJ)$ và $(KBC)$ ($F\neq K$) thì theo bổ đề ta cũng có $E\in KF$.

Ta có $\angle IFC=360^o-\angle IFK-\angle KFC=\angle IJC+\angle IBC=\angle ITC$ suy ra tứ giác $IFTC$ nội tiếp.

Tương tự tứ giác $(JFTB)$ nội tiếp. Áp dụng bổ đề cho ba đường tròn $(ITC),(JTB),(T)$ ta có $A,F,T$ thẳng hàng.

Do đó $\angle AFK=\angle IFK-\angle IFA=180^o-\angle IJC-\angle ICT=90^o$.

Mặt khác $EK.EF=EL.EA$ nên tứ giác $ALKF$ nội tiếp.

Dẫn đến $\angle ALK=90^o$ hay $L,Y,K$ thẳng hàng.



#3 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 30-12-2021 - 17:55

Xin góp một số câu cho TOPIC:

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn, các điểm $D,E,F$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC,CA,AB$. Tìm vị trí của các điểm $D,E,F$ để chu vi tam giác $DEF$ nhỏ nhất.

Bài 3: Cho điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $P$ kẻ tiếp tuyến $PA, PB$ tới $(O)$. $M$ là điểm bất kì di chuyển trên cung lớn $AB$. Gọi $T$ là trung điểm của $AB$. Góc $\widehat{xTy}=90^o$ quay quanh điểm $T$ sao cho $Tx$ cắt đoạn thẳng $MA$ tại $E$, $Ty$ cắt đoạn thẳng $MB$ tại $F$. Chứng minh rằng độ lớn của góc $\widehat{EPF}$ không phụ thuộc vào vị trí điểm $M$ và góc $\widehat{xTy}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 30-12-2021 - 23:09


#4 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1463 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-12-2021 - 19:16

Bổ đề: Cho ba đường tròn $(O_1),(O_2),(O_3)$ đôi một cắt nhau. Gọi $(O_1)\cap (O_2)=\{A,B\};(O_2)\cap (O_3)=\{C,D\};(O_3)\cap (O_1)=\{E,F\}$. Khi đó $AB,CD,EF$ đồng quy hoặc đôi một song song.

Chứng minh: Nếu $AB\parallel CD$ thì do $O_1O2\perp AB$ và $O_2O_3\perp CD$ nên $O_1,O_2,O_3$ thẳng hàng. Suy ra $AB\parallel CD\parallel EF$.

Nếu $AB$ cắt $CD$ tại M thì gọi $ME$ cắt $(O_3)$ lại tại $F'$. Ta có $ME.MF'=MC.MD$ và $MC.MD=MA.MB$ nên $ME.MF'=MA.MB$ suy ra $F'$ thuộc đường tròn $(O_1)$ nên $F'$ là giao điểm khác $E$ của $(O_1)$ và $(O_3)$. Từ đó $F'\equiv F$ hay $AB,CD,EF$ đồng quy.

Quay trở lại bài toán:

attachicon.gif new.png

Do $\angle BJY=\angle BXY=90^\circ$ nên tứ giác $BJYX$ nội tiếp. Tương tự tứ giác $CIYX$ nội tiếp $\Rightarrow AJ.AB=AY.AX=AI.AC$ nên tứ giác $BJIC$ nội tiếp. Gọi $T$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác này

Xét ba đường tròn $(AIJ),(T),(O)$ thì theo bổ đề, ta có $AL,IJ,BC$ đồng quy tại $E$.

Gọi $F$ là giao của $(KIJ)$ và $(KBC)$ ($F\neq K$) thì theo bổ đề ta cũng có $E\in KF$.

Ta có $\angle IFC=360^o-\angle IFK-\angle KFC=\angle IJC+\angle IBC=\angle ITC$ suy ra tứ giác $IFTC$ nội tiếp.

Tương tự tứ giác $(JFTB)$ nội tiếp. Áp dụng bổ đề cho ba đường tròn $(ITC),(JTB),(T)$ ta có $A,F,T$ thẳng hàng.

Do đó $\angle AFK=\angle IFK-\angle IFA=180^o-\angle IJC-\angle ICT=90^o$.

Mặt khác $EK.EF=EL.EA$ nên tứ giác $ALKF$ nội tiếp.

Dẫn đến $\angle ALK=90^o$ hay $L,Y,K$ thẳng hàng.

Bài giải đẹp, chất lượng nhưng có thể xử lí ngắn hơn bằng Brocard! 2 bài kia hình thức ngắn nhưng không biết khó không, để tui thử xem!

Bài 4: 

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$. $E$ là điểm Nagel. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $MN,MP$ tại $R,S$. Đường tròn $(MRS)$ cắt $(I)$ tại $L$. Chứng minh $A,E,L$ thẳng hàng.

Hình gửi kèm

  • Screenshot (274).png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 30-12-2021 - 19:43

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#5 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-12-2021 - 21:34

Bài giải đẹp, chất lượng nhưng có thể xử lí ngắn hơn bằng Brocard! 2 bài kia hình thức ngắn nhưng không biết khó không, để tui thử xem!

Bài 4: 

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$. $E$ là điểm Nagel. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $MN,MP$ tại $R,S$. Đường tròn $(MRS)$ cắt $(I)$ tại $L$. Chứng minh $A,E,L$ thẳng hàng.

Gợi ý:



#6 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1463 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-12-2021 - 21:40

Gợi ý:

Ý tưởng chính xác, có lẽ bài này khá nhẹ. Trực tâm đó chính là giao điểm của $MI$ với đường tròn $(I)$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#7 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1463 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-12-2021 - 21:59

Bài tiếp theo

Bài 5: Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$, nội tiếp đường tròn $(O)$. Điểm Nagel là $R$. Kẻ $AX//BC$ với $X$ thuộc đường tròn $(O)$. $K$ là giao điểm của đường tròn đường kính $AI$ với $(O)$. Chứng minh: $\angle KAI=\angle AXR$

Hình gửi kèm

  • Screenshot (278).png

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#8 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-12-2021 - 22:14

Bài tiếp theo

Bài 5: Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$, nội tiếp đường tròn $(O)$. Điểm Nagel là $R$. Kẻ $AX//BC$ với $X$ thuộc đường tròn $(O)$. $K$ là giao điểm của đường tròn đường kính $AI$ với $(O)$. Chứng minh: $\angle KAI=\angle AXR$

Có thể sử dụng phép vị tự quay tâm $K$ và một bổ đề quen thuộc: Đường nối $A$ với tiếp điểm của đường tròn $A-$mixtilinear với $(O)$ đẳng giác với $AR$ trong góc $BAC$.



#9 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1463 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2021 - 07:52

Bài 3: Cho điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $P$ kẻ tiếp tuyến $PA, PB$ tới $(O)$. $M$ là điểm bất kì di chuyển trên cung lớn $AB$. Gọi $T$ là trung điểm của $AB$. Góc $\widehat{xTy}=90^o$ quay quanh điểm $T$ sao cho $Tx$ cắt đoạn thẳng $MA$ tại $E$, $Ty$ cắt đoạn thẳng $MB$ tại $F$. Chứng minh rằng độ lớn của góc $\widehat{EPF}$ không phụ thuộc vào vị trí điểm $M$ và góc $\widehat{xTy}$.

Gọi $I$ là điểm đối xứng với $E$ qua $OP$, $Bt$ là tia đối của $BP$

Ta có:

+) $\angle BTI=\angle ATE=\angle OTF$ suy ra $TF$ và $TI$ đẳng giác tại góc ngoài của $\angle  PTB$ trong $\Delta PTB$

+) $\angle TBI=\angle TAE=\angle MBt$ suy ra $BF$ và $BI$ đẳng giác tại góc ngoài của $\angle  TBP$ trong $\Delta PTB$

Do vậy $I$ và $F$ liên hợp đẳng giác trong $\Delta PTB$

$\Rightarrow \angle TPF=\angle BPI\Rightarrow \angle TPF+\angle EPT=\angle BPI+\angle EPT=\angle APT\Rightarrow \angle EPF=\angle APT(\text{const})$ 

Hình gửi kèm

  • Screenshot (280).png

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#10 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1463 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2021 - 08:11

Quên nhắc các bạn đây là topic hình THCS nên chỉ dùng kiến thức THCS hoặc kiến thức THPT nhưng chứng minh được bằng THCS nha! Ví dụ như Brocard, Nagel, định lý bốn điểm,... và đặc biệt là né hàng điểm và tứ giác điều hòa nhé các bạn!

Bài 6: Cho $\Delta ABC$ nhọn. Ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $I$ là hình chiếu của $B$ trên $ED$. $J$ là trung điểm của $HD$  Chứng minh $F,J,D,I$ đồng viên.

                                                                          (Nguồn: Facebook)

 

Hình gửi kèm

  • Screenshot (281).png

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#11 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1463 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2021 - 16:03

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn, các điểm $D,E,F$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC,CA,AB$. Tìm vị trí của các điểm $D,E,F$ để chu vi tam giác $DEF$ nhỏ nhất.

Bài này khá thâm, không phù hợp với THCS nên mình sẽ không giải vì nó cần phải sử dụng Vector


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 31-12-2021 - 16:03

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#12 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2021 - 19:02

Bài này khá thâm, không phù hợp với THCS nên mình sẽ không giải vì nó cần phải sử dụng Vector

Em không nên đánh giá bài toán quá nhanh như vậy.

Anh nghĩ là sẽ có những người làm được bài này bằng cách THCS. Có ít nhất ba cách THCS.



#13 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1463 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2021 - 19:05

Em không nên đánh giá bài toán quá nhanh như vậy.

Anh nghĩ là sẽ có những người làm được bài này bằng cách THCS. Có ít nhất ba cách THCS.

Dạ anh nói đúng nhưng bài này khá nổi tiếng trong sách BÀI TẬP NÂNG CAO VÀ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 10 của thầy Nguyễn Minh Hà, nếu anh có cách THCS thì có thể chia sẻ được không ạ?


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#14 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2021 - 19:30

Dạ anh nói đúng nhưng bài này khá nổi tiếng trong sách BÀI TẬP NÂNG CAO VÀ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 10 của thầy Nguyễn Minh Hà, nếu anh có cách THCS thì có thể chia sẻ được không ạ?

Cách 1. Cách này anh nghĩ ra, không biết có đâu chưa

Còn 2 cách nữa, anh sẽ đăng sau.



#15 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2021 - 19:36

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn, các điểm $D,E,F$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC,CA,AB$. Tìm vị trí của các điểm $D,E,F$ để chu vi tam giác $DEF$ nhỏ nhất.

Mở rộng cho tứ giác: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$ sao cho tất cả các góc tạo bởi một đường chéo và một cạnh có chung đỉnh của tứ giác đều là các góc nhọn. Tìm $4$ điểm trên từng cạnh của tứ giác sao cho chu vi tứ giác nội tiếp bên trong tứ giác $ABCD$ đạt giá trị nhỏ nhất. Chứng minh rằng có vô số tứ giác thỏa mãn điều kiện nhỏ nhất đó.



#16 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 31-12-2021 - 22:09

Bài tiếp theo

Bài 5: Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$, nội tiếp đường tròn $(O)$. Điểm Nagel là $R$. Kẻ $AX//BC$ với $X$ thuộc đường tròn $(O)$. $K$ là giao điểm của đường tròn đường kính $AI$ với $(O)$. Chứng minh: $\angle KAI=\angle AXR$

Cách khác:

$(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$.

Vì $R$ là điểm Nagel nên $AR$ đi qua điểm tiếp xúc của đường tròn bàng tiếp góc $A$ $\Delta ABC$ với $BC$.

Do đó nếu kẻ đường kính $DV$ thì $V\in AR$.

Dễ thấy $AI$ đi qua điểm chính giữa $J$ của cung $BC$.

$\Delta KBF\sim\Delta KCE(g.g)\Rightarrow \frac{KB}{KC}=\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{CD}\Rightarrow KD$ là phân giác góc $BKC$.

Từ đó $KD$ đi qua $J$.

Kẻ $RM\perp AX(M\in AX)$.

$DV$ cắt $AX$ tại $N$.

$BR$ cắt $AC$ tại $L$ thì $L,E$ đối xứng với nhau qua trung điểm của $AC$.

Áp dụng định lý Menelaus cho $\Delta AHC$ với cát tuyến $B,R,L$ ta có $\frac{RA}{RH}=\frac{BC}{BH}.\frac{LA}{LC}=\frac{BC}{LC}=\frac{2BC}{AB+AC-BC}\Rightarrow \frac{AR}{AH}=\frac{2BC}{AB+AC+BC}=\frac{2r}{h_{A}}=\frac{VH}{AH}\Rightarrow AR=VH$.

Do đó $\Delta ARM=\Delta HVD(g.c.g)$.

$OJ$ cắt $BC,AX$ lần lượt tại $P,Q$.

Khi đó $MX=AX-AM=AX-DH=2(AQ-DP)=2(AQ-NQ)=2AN$.

Mặt khác $\Delta KAN\sim\Delta KID(g.g)$ nên $\frac{KA}{KI}=\frac{AN}{ID}=\frac{MX}{MR}\Rightarrow \Delta KAI\sim\Delta MXR(c.g.c)\Rightarrow \angle KAI=\angle AXR$. (đpcm)

Hình gửi kèm

  • hình.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 31-12-2021 - 22:10


#17 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 31-12-2021 - 22:17

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn, các điểm $D,E,F$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC,CA,AB$. Tìm vị trí của các điểm $D,E,F$ để chu vi tam giác $DEF$ nhỏ nhất.

Bài toán Fagnano - 1775:

Cách 2: Gọi $M,N$ lần lượt đối xứng với $D$ qua $AB,AC$. Khi đó $AM=AN=AD$ và $\angle MAN=2\angle BAC$.

Ta có $DE+EF+FD=EN+EF+FM\geq MN=2AM.\sin BAC=2AD.\sin BAC\geq 2h_a.\sin BAC$ với $h_a$ là đường cao xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.

Dấu bằng xảy ra khi $D,E,F$ là chân các đường cao của tam giác.

Hình gửi kèm

  • hình 2.png


#18 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2021 - 22:21

Bài toán Fagnano - 1775:

Cách 2: Gọi $M,N$ lần lượt đối xứng với $D$ qua $AB,AC$. Khi đó $AM=AN=AD$ và $\angle MAN=2\angle BAC$.

Ta có $DE+EF+FD=EN+EF+FM\geq MN=2AM.\sin BAC=2AD.\sin BAC\geq 2h_a.\sin BAC$ với $h_a$ là đường cao xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.

Dấu bằng xảy ra khi $D,E,F$ là chân các đường cao của tam giác.

Đây chính là cách 2 anh muốn nói, của Fejer.

Còn 1 cách nữa của H.Schwarz.

Ngoài các cách trên ra, vẫn có thể còn các cách chỉ sử dụng kiến thức THCS đang chờ đợi. Hy vọng sẽ sớm được tìm ra.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 31-12-2021 - 22:58


#19 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 31-12-2021 - 22:37

Bài 6: Cho $\Delta ABC$ nhọn. Ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $I$ là hình chiếu của $B$ trên $ED$. $J$ là trung điểm của $HD$  Chứng minh $F,J,D,I$ đồng viên.

cc.png

$CH$ cắt $DE$ tại $K$.

Gọi $L$ là trung điểm của $CH$.

Áp dụng định lý Brocard cho tứ giác $DHEC$ nội tiếp ta có $BK\perp AL$.

$\Delta AHC\sim FHD(g.g)\Rightarrow \Delta ALC\sim FJD(c.g.c)\Rightarrow \angle ALC=\angle FJD$.

Mặt khác $BK\perp AL$ và $CF\perp BA$ nên $\angle ALC=180^o-\angle FBK$.

Mà tứ giác $BFKI$ nội tiếp nên $\angle FID=\angle FBK=180^o-\angle ALC=180^o-\angle FJD$.

Điều này dẫn đến $F,J,D,I$ đồng viên. (đpcm)



#20 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1463 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2021 - 22:48

Cuối năm rồi Hoàng vẫn chăm chỉ nhỉ  :luoi: . Tiếp theo là bài mình đã làm từ lâu, chắc các bạn đã gặp nó ở đâu đó rồi! Tối nay nghiên cứu tới 12h đón giao thừa  :lol:

Bài 7: Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$. Gọi $K$ là điểm bất kì trong tam giác. $M,N,P$ là hình chiếu của $K$ trên $BC,CA,AB$. $(MNP)$ cắt $BC$ tại $H$. $I,J$ là trung điểm của $BC,BA$. $IJ$ cắt $HN$ tại $L$. Chứng minh tam giác $LNP$ cân

 

Hình gửi kèm

  • Screenshot (286).png

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh