Một bài hình hay mình vừa lụm được trên facebook
Bài 14: Cho $\Delta ABC$ có ba đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. $M,N$ là trung điểm của $BC,AH$. Gọi $P$ là giao điểm của $AM$ và $CN$. Chứng minh: $\angle PFD=90^{\circ}$
Lời giải.
Gọi $X$ là giao điểm của $CF$ và $AM$, $Y$ là giao điểm của $CN$ và $AB$, $Z$ là giao điểm của đường vuông góc với $FD$ tại $F$ và $AC$, $T$ là giao điểm của $FC$ và $EM$.
Ta cần chứng minh $AX,FZ,CY$ đồng quy nữa là xong
Thật vậy, xét các cặp tam giác đồng dạng ta suy ra các cặp cạnh tỉ lệ theo thứ tự: $\Delta HTE \sim \Delta AZF,\Delta CHE \sim \Delta CAF,\Delta CTE \sim \Delta CZF\Rightarrow \frac{HT}{AZ}=\frac{HE}{AF}=\frac{CE}{CF}=\frac{CT}{CZ}$
$\Rightarrow \frac{TH}{TC}=\frac{AZ}{CZ}$
Áp dụng định lý Menelaus trong $\Delta BHC$ với bộ ba điểm $M,T,E$ thẳng hàng, ta được: $\frac{MB}{MC}.\frac{TC}{TH}.\frac{EH}{EB}=1\Rightarrow \frac{TH}{TC}=\frac{EH}{EB}$
Vậy ta có được: $\frac{ZA}{ZC}=\frac{EH}{EB}$
Tiếp tục áp dụng định lý Menelaus cho $\Delta BFC$ với bộ ba điểm $M,X,A$ thẳng hàng, ta được: $\frac{MB}{MC}.\frac{XC}{XF}.\frac{AF}{AB}=1\Rightarrow \frac{XC}{XF}=\frac{AB}{AF}$
Áp dụng định lý Menelaus cho $\Delta AFH$ với bộ ba điểm $Y,N,C$ thẳng hàng, ta được: $\frac{NA}{NH}.\frac{CH}{CF}.\frac{YF}{YA}=1\Rightarrow \frac{YF}{YA}=\frac{CF}{CH}$
Tổng hợp các tỉ số trên, ta được: $\frac{ZA}{ZC}.\frac{XC}{XF}.\frac{YF}{YA}=\frac{EH}{EB}.\frac{AB}{AF}.\frac{CF}{CH}=\frac{EH.CF}{CH.BE}.\frac{AB}{AF}=\frac{FH.CF}{BH.BE}.\frac{AB}{AF}=\frac{BF.FA}{BF.AB}.\frac{AB}{AF}=1$
Theo Menelaus đảo thì ta có $AX,FY,CZ$ đồng quy. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 22-02-2022 - 17:36