Chủ đề này có 1 trả lời

[le phi hoang]

cho các số thực $x,y,z$ khác 0, đôi một khác nhau và thoả mãn điều kiện: $x^{2}-xy=y^{2}-yz=z^{2}-zx$. Tính $P=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$

[thanhng2k7]

Đặt $t=x^{2}-xy=y^{2}-yz=z^{2}-zx (1)$

Do $x,y,z\neq 0$ và khác nhau nên $t\neq 0$

Từ (1) ta có:

$x-y=\frac{t}{x}$

$y-z=\frac{t}{y}$

$z-x=\frac{t}{z}$

Suy ra $t(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=0$

Mà  $t\neq 0$ 

Nên $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$

Hay $xy+yz+zx=0\Leftrightarrow xy=-(yz+zx)$

Khi đó

$P=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x}{xyz}=\frac{-x(yz+z)+y^{2}z+z^{2}x}{xyz}=\frac{-xyz-z(x^2-y^{2}-zx)}{xyz}$

Mà kết hợp với (1)

Ta suy ra $P=\frac{-xyz-z(xy-yz-zx)}{xyz}=\frac{-3xyz}{xyz}=-3$