Tìm tất cả các đa thức khác không $P(x)$ thỏa đồng nhất thức: $P(x^2)\equiv [P(x)]^2, x\in R$
$P(x^2)\equiv [P(x)]^2, x\in R$
Bắt đầu bởi Dennis Nguyen, 06-01-2022 - 11:51
#1
Đã gửi 06-01-2022 - 11:51
#2
Đã gửi 06-01-2022 - 20:57
Trước hết nhận thấy $P(x)$ là đa thức monic.
Đặt $P(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_n$.
Giả sử tồn tại một hệ số khác 0.
Gọi $k$ nhỏ nhất sao cho $a_k\neq 0$.
Khi đó $P(x)=x^n+a_kx^{n-k}+a_{k+1}x^{n-k-1}+...+a_n$.
Do $P(x^2)\equiv [P(x)]^2$ nên đồng nhất hệ số của $x^{2n-k}$ ta có $2a_k=0$.
Do đó $a_k=0$. (vô lí)
Vậy $P(x)=x^n$, với $n$ là số nguyên dương bất kì.
- KietLW9 yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh